Estudio de continuidad y monotonía de una función a trozos

**a) Estudia razonadamente la continuidad de $f(x)$.** Primero analizamos la continuidad de cada una de las ramas de la función por separado en sus respectivos dominios de definición: 1. En el intervalo $(-\infty, 4)$, la función es $f(x) = 4 - x$. Se trata de una **función polinómica de primer grado (recta)**, por lo que es continua en todo su dominio. 2. En el intervalo $(4, +\infty)$, la función es $f(x) = x^2 - 16$. Se trata de una **función polinómica de segundo grado (parábola)**, por lo que también es continua en todo su dominio. Por tanto, el único punto donde la continuidad podría verse comprometida es en el valor de salto entre las ramas, es decir, en **$x = 4$**. 💡 **Tip:** Las funciones polinómicas, exponenciales y senos/cosenos son continuas en toda la recta real $\mathbb{R}$.

Para que la función sea continua en $x = 4$, deben coincidir el valor de la función y los límites laterales en dicho punto: 1. **Valor de la función:** Usamos la segunda rama (donde está el símbolo $\ge$): $$f(4) = 4^2 - 16 = 16 - 16 = 0$$ 2. **Límite por la izquierda ($x \to 4^-$):** $$\lim_{x \to 4^-} f(x) = \lim_{x \to 4} (4 - x) = 4 - 4 = 0$$ 3. **Límite por la derecha ($x \to 4^+$):** $$\lim_{x \to 4^+} f(x) = \lim_{x \to 4} (x^2 - 16) = 16 - 16 = 0$$ Como $f(4) = \lim_{x \to 4^-} f(x) = \lim_{x \to 4^+} f(x) = 0$, la función es **continua en $x = 4$**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La función } f(x) \text{ es continua en todo } \mathbb{R}}$$

**b) Analiza el crecimiento y decrecimiento de $f(x)$.** Para estudiar la monotonía (crecimiento y decrecimiento), calculamos la derivada de la función en cada rama: $$f'(x) = \begin{cases} -1 & \text{si } x \lt 4 \\ 2x & \text{si } x \gt 4 \end{cases}$$ Nota: Debemos comprobar si la función es derivable en $x=4$. Los límites de la derivada son: - $f'(4^-) = -1$ - $f'(4^+) = 2(4) = 8$ Como no coinciden, la función **no es derivable en $x = 4$**, pero el cambio de rama es un punto crítico que debemos tener en cuenta para el estudio del signo de la derivada. 💡 **Tip:** Recuerda que una función crece cuando $f'(x) \gt 0$ y decrece cuando $f'(x) \lt 0$.

Analizamos el signo de $f'(x)$ en los dos intervalos definidos por el punto crítico $x = 4$: 1. **Intervalo $(-\infty, 4)$:** Aquí $f'(x) = -1$. Como $-1 \lt 0$, la función es **estrictamente decreciente**. 2. **Intervalo $(4, +\infty)$:** Aquí $f'(x) = 2x$. Dado que en este intervalo $x \gt 4$, entonces $2x$ siempre será mayor que $8$, por lo que $f'(x) \gt 0$. La función es **estrictamente creciente**. **Tabla de monotonía:** $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 4) & 4 & (4, +\infty) \\\hline f'(x) & - & \nexists & + \\\hline f(x) & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{aligned} & \text{Decreciente en: } (-\infty, 4) \\ & \text{Creciente en: } (4, +\infty) \end{aligned}}$$ Como consecuencia, en el punto $(4, 0)$ la función presenta un **mínimo relativo**.