Intervalo de confianza y tamaño muestral para el sueldo medio

**a) Halla el intervalo de confianza del 90% para el sueldo medio de un trabajador.** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado para la muestra: - Tamaño de la muestra: $n = 625$ - Media muestral: $\bar{x} = 1480$ € - Desviación típica poblacional: $\sigma = 250$ € - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,90$ Para calcular el intervalo de confianza, necesitamos encontrar el valor crítico $z_{\alpha/2}$. Si la confianza es del $90\%$, el nivel de significación es $\alpha = 0,10$, por lo que $\alpha/2 = 0,05$. Buscamos en la tabla de la normal estándar $N(0,1)$ el valor que deja una probabilidad acumulada de: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,05 = 0,95$$ Mirando en las tablas de la distribución normal, el valor $0,95$ se encuentra justo entre $1,64$ y $1,65$. Habitualmente se toma el valor medio: $$z_{\alpha/2} = 1,645$$ 💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2}$ es el número de desviaciones típicas que debemos alejarnos de la media para cubrir el porcentaje de confianza deseado.

Calculamos el error máximo admisible ($E$) con la fórmula: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituimos nuestros valores: $$E = 1,645 \cdot \frac{250}{\sqrt{625}} = 1,645 \cdot \frac{250}{25} = 1,645 \cdot 10 = 16,45$$ El intervalo de confianza se define como $I.C. = (\bar{x} - E, \bar{x} + E)$. Por tanto: $$I.C. = (1480 - 16,45, 1480 + 16,45)$$ $$I.C. = (1463,55, 1496,45)$$ ✅ **Resultado del intervalo:** $$\boxed{I.C. = (1463,55 \text{ €}, 1496,45 \text{ €})}$$

**b) Si se quiere que el error máximo de la estimación del sueldo medio de un trabajador sea de 10 €, con una confianza del 99%, halla el tamaño mínimo de la muestra que se debe elegir.** En este apartado cambian las condiciones: - Error máximo permitido: $E = 10$ € - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,99 \implies \alpha = 0,01$ - $\alpha/2 = 0,005$ Buscamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,005 = 0,995$$ Consultando la tabla de la normal estándar $N(0,1)$: $$z_{\alpha/2} = 2,575$$ (También se suele aceptar $2,57$ o $2,58$, pero $2,575$ es más preciso).

Partimos de la fórmula del error y despejamos $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E}$$ $$n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$ Sustituimos los datos del nuevo escenario: $$n = \left( \frac{2,575 \cdot 250}{10} \right)^2 = (2,575 \cdot 25)^2$$ $$n = (64,375)^2 \approx 4144,14$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y el error debe ser **como máximo** de 10 €, debemos redondear siempre al entero superior para asegurar que el error sea menor o igual al pedido. 💡 **Tip:** En problemas de tamaño muestral, aunque el decimal sea pequeño, siempre redondeamos hacia arriba para no exceder el error permitido. ✅ **Resultado del tamaño muestral:** $$\boxed{n = 4145 \text{ trabajadores}}$$