Discusión y resolución de un sistema con parámetro

**a) Clasifica el sistema según sus soluciones para los diferentes valores de $a$.** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ asociadas al sistema: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & a - 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & a - 1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 4 \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de la matriz $A$ utilizando la regla de Sarrus para encontrar los valores críticos del parámetro $a$: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & a - 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (1 \cdot 1 \cdot 1) + (3 \cdot (a-1) \cdot 1) + (1 \cdot 3 \cdot 1) - (1 \cdot 1 \cdot 1) - (1 \cdot (a-1) \cdot 1) - (3 \cdot 3 \cdot 1)$$ $$|A| = 1 + 3a - 3 + 3 - 1 - a + 1 - 9 = 2a - 8$$ Igualamos el determinante a cero: $$2a - 8 = 0 \implies 2a = 8 \implies a = 4$$ 💡 **Tip:** El determinante de la matriz de coeficientes nos indica si el sistema tiene una solución única (si es distinto de cero) o si debemos investigar más (si es igual a cero).

Analizamos los casos según el valor de $a$ aplicando el **Teorema de Rouché-Frobenius**: **Caso 1: $a \neq 4$** Si $a \neq 4$, el determinante $|A| \neq 0$. Por tanto, el rango de la matriz $A$ es igual al número de incógnitas: $$\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 3 = n$$ En este caso, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, lo que significa que tiene una **solución única**. **Caso 2: $a = 4$** Si $a = 4$, el determinante $|A| = 0$, por lo que $\text{rango}(A) < 3$. Evaluamos la matriz $A$ con $a=4$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Como el menor $\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 9 = -8 \neq 0$, entonces $\text{rango}(A) = 2$. Ahora estudiamos el rango de $A^*$ para $a=4$ tomando una columna de los términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 4 \end{vmatrix} = (4 + 9 + 3) - (1 + 3 + 36) = 16 - 40 = -24 \neq 0$$ Como este determinante es distinto de cero, $\text{rango}(A^*) = 3$. Como $\text{rango}(A) \neq \text{rango}(A^*)$, el sistema es **Incompatible (SI)**, no tiene solución. ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } a \neq 4: \text{Sistema Compatible Determinado (SCD)} \\ \text{Si } a = 4: \text{Sistema Incompatible (SI)} \end{cases}}$$

**b) Resuelve el sistema para $a = 3$.** Como $a = 3 \neq 4$, el sistema es compatible determinado. Sustituimos $a$ en el sistema: $$\begin{cases} x + 3y + z = 1 \\ 3x + y + 2z = 3 \\ x + y + z = 4 \end{cases}$$ Sabemos que el determinante principal es $|A| = 2(3) - 8 = -2$. Resolvemos aplicando la **Regla de Cramer**: $$x = \frac{|A_x|}{|A|} = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & 1 \end{vmatrix}}{-2} = \frac{(1+24+3)-(4+2+9)}{-2} = \frac{28-15}{-2} = \frac{13}{-2} = -6.5$$ $$y = \frac{|A_y|}{|A|} = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 3 & 2 \\ 1 & 4 & 1 \end{vmatrix}}{-2} = \frac{(3+2+12)-(3+8+3)}{-2} = \frac{17-14}{-2} = \frac{3}{-2} = -1.5$$ $$z = \frac{|A_z|}{|A|} = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 4 \end{vmatrix}}{-2} = \frac{(4+9+3)-(1+3+36)}{-2} = \frac{16-40}{-2} = \frac{-24}{-2} = 12$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en la regla de Cramer, sustituimos la columna de la incógnita que queremos calcular por la columna de términos independientes. ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{x = -6.5, \quad y = -1.5, \quad z = 12}$$