Optimización de beneficios empresariales

**a) Determina en qué momento del tiempo los beneficios serán de 16 millones de euros.** Para resolver este apartado, debemos igualar la función de beneficios $P(t)$ al valor indicado, es decir, $16$ millones de euros, y resolver la ecuación resultante para $t$: $$t^2 - 10t + 16 = 16$$ Restamos $16$ en ambos lados de la igualdad para simplificar la ecuación: $$t^2 - 10t = 0$$ 💡 **Tip:** Cuando tenemos una ecuación de segundo grado incompleta del tipo $ax^2 + bx = 0$, la forma más rápida de resolverla es sacando factor común.

Extraemos factor común $t$: $$t(t - 10) = 0$$ Esto nos da dos posibles soluciones: 1. $t = 0$ 2. $t - 10 = 0 \implies t = 10$ Ahora, debemos comprobar cuál de estos valores pertenece al dominio de definición de la función, que es $t \in (0, 10]$. - El valor $t = 0$ **no está incluido** en el intervalo (paréntesis inicial). - El valor $t = 10$ **sí está incluido** en el intervalo (corchete final). Por lo tanto, los beneficios serán de 16 millones de euros exactamente al finalizar el periodo previsto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{t = 10 \text{ años}}$$

**b) Determina en qué momento los beneficios serán mínimos.** Para hallar el mínimo de una función, primero calculamos su derivada primera $P'(t)$ y buscamos sus puntos críticos (donde la derivada es cero). Dada $P(t) = t^2 - 10t + 16$, derivamos término a término: $$P'(t) = 2t - 10$$ Igualamos a cero para encontrar el valor de $t$ candidato a extremo: $$2t - 10 = 0 \implies 2t = 10 \implies t = \frac{10}{2} = 5$$ El valor $t = 5$ se encuentra dentro de nuestro intervalo $(0, 10]$. 💡 **Tip:** Recuerda que para que un punto sea un mínimo, la función debe pasar de ser decreciente a ser creciente en ese punto.

Para confirmar que en $t = 5$ hay un mínimo, analizamos el signo de la derivada $P'(t)$ a ambos lados del punto crítico dentro del dominio $(0, 10]$: $$ \begin{array}{c|ccc} t & (0, 5) & 5 & (5, 10]\\ \hline P'(t) = 2t - 10 & - & 0 & +\\ \hline P(t) & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array} $$ Justificación del signo: - Si $t = 1 \in (0, 5)$, entonces $P'(1) = 2(1) - 10 = -8 \lt 0$ (La función decrece). - Si $t = 6 \in (5, 10]$, entonces $P'(6) = 2(6) - 10 = 2 \gt 0$ (La función crece). Como la función pasa de decrecer a crecer en $t = 5$, existe un **mínimo relativo** en ese instante. ✅ **Resultado:** $$\boxed{t = 5 \text{ años}}$$