Probabilidad de importación de quesos

Para resolver este problema, primero definimos los sucesos principales basados en la variedad del queso y su procedencia: * $C$: El queso es curado. * $S$: El queso es semicurado. * $T$: El queso es tierno. * $I$: El queso es de importación. * $\bar{I}$: El queso **no** es de importación (suceso contrario). Los datos del enunciado nos dan las siguientes probabilidades: $P(C) = 0.45$; $P(S) = 0.30$; $P(T) = 0.25$ También nos dan las probabilidades condicionadas de que sea de importación según el tipo: $P(I|C) = 0.25 \implies P(\bar{I}|C) = 1 - 0.25 = 0.75$ $P(I|S) = 0.23 \implies P(\bar{I}|S) = 1 - 0.23 = 0.77$ $P(I|T) = 0.20 \implies P(\bar{I}|T) = 1 - 0.20 = 0.80$ Representamos esta información en un diagrama de árbol:

**a) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea de importación?** Para calcular la probabilidad de que el queso elegido no sea de importación, $P(\bar{I})$, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Esto consiste en sumar las probabilidades de no ser de importación para cada una de las tres variedades: $$P(\bar{I}) = P(C) \cdot P(\bar{I}|C) + P(S) \cdot P(\bar{I}|S) + P(T) \cdot P(\bar{I}|T)$$ Sustituimos los valores numéricos obtenidos del diagrama: $$P(\bar{I}) = (0.45 \cdot 0.75) + (0.30 \cdot 0.77) + (0.25 \cdot 0.80)$$ Realizamos las multiplicaciones paso a paso: * $0.45 \cdot 0.75 = 0.3375$ * $0.30 \cdot 0.77 = 0.231$ * $0.25 \cdot 0.80 = 0.20$ Sumamos los resultados: $$P(\bar{I}) = 0.3375 + 0.231 + 0.20 = 0.7685$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de todas las probabilidades en un mismo nivel del árbol debe ser 1. Por ejemplo, $P(I|C) + P(\bar{I}|C) = 0.25 + 0.75 = 1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{I}) = 0.7685}$$ (o expresado en porcentaje, un **76.85%**)

**b) Si el queso elegido es de importación, ¿qué probabilidad tiene de ser curado?** En este apartado nos piden calcular la probabilidad de que el queso sea curado sabiendo de antemano que es de importación. Es decir, buscamos $P(C|I)$. Para ello utilizamos el **Teorema de Bayes**: $$P(C|I) = \frac{P(C \cap I)}{P(I)} = \frac{P(C) \cdot P(I|C)}{P(I)}$$ Primero, calculamos $P(I)$ (probabilidad de ser de importación). Como conocemos $P(\bar{I})$ del apartado anterior, podemos usar el suceso contrario: $$P(I) = 1 - P(\bar{I}) = 1 - 0.7685 = 0.2315$$ Ahora calculamos la probabilidad de la intersección (queso curado e importado): $$P(C \cap I) = P(C) \cdot P(I|C) = 0.45 \cdot 0.25 = 0.1125$$ Finalmente, aplicamos la fórmula de Bayes: $$P(C|I) = \frac{0.1125}{0.2315} \approx 0.48596$$ Redondeando a cuatro decimales, obtenemos $0.4860$. 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes se usa cuando conocemos el resultado final (es de importación) y queremos saber la probabilidad de una de las causas (que sea curado). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(C|I) \approx 0.4860}$$ (o aproximadamente un **48.6%**)