Probabilidad de aprobar exámenes

En primer lugar, definimos los sucesos que intervienen en el problema y traducimos los porcentajes a probabilidades: - $T$: Aprobar el examen tipo test. - $P$: Aprobar el examen de problemas. Los datos proporcionados son: - $P(T) = 80\% = 0,80$ - $P(P) = 60\% = 0,60$ - $P(T \cap P) = 50\% = 0,50$ (probabilidad de aprobar ambos). Queremos calcular la probabilidad de que **no apruebe ninguno**, es decir, que no apruebe el test **y** no apruebe los problemas: $P(\bar{T} \cap \bar{P})$.

Para visualizar mejor la relación entre los sucesos, podemos organizar la información en una tabla de contingencia. Completamos los huecos sabiendo que las sumas de filas y columnas deben coincidir con los totales: $$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & P & \bar{P} & \text{Total} \\ \hline T & 0,50 & 0,30 & 0,80 \\ \hline \bar{T} & 0,10 & \mathbf{0,10} & 0,20 \\ \hline \text{Total} & 0,60 & 0,40 & 1,00 \\ \hline \end{array} $$ De la tabla podemos observar directamente que la probabilidad de no aprobar ninguno ($P(\bar{T} \cap \bar{P})$) es $0,10$. A continuación, realizaremos el cálculo analítico para justificar el resultado.

Para hallar la probabilidad de no aprobar ninguno, primero calculamos la probabilidad de aprobar al menos uno de los dos exámenes ($P(T \cup P)$) mediante la fórmula de la unión: $$P(T \cup P) = P(T) + P(P) - P(T \cap P)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(T \cup P) = 0,80 + 0,60 - 0,50 = 0,90$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la unión representa el suceso "ocurre al menos uno de los dos". Siempre restamos la intersección para no contar dos veces el caso en el que ocurren ambos.

Utilizamos las **Leyes de De Morgan**, que establecen que el suceso "no ocurre ninguno" es el complementario de "ocurre al menos uno": $$\bar{T} \cap \bar{P} = \overline{T \cup P}$$ Por tanto: $$P(\bar{T} \cap \bar{P}) = 1 - P(T \cup P)$$ Sustituyendo el valor hallado en el paso anterior: $$P(\bar{T} \cap \bar{P}) = 1 - 0,90 = 0,10$$ La probabilidad de que el alumno no apruebe ninguno de los dos exámenes es del $10\%$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{P(\bar{T} \cap \bar{P}) = 0,10}$$ 💡 **Tip:** Las Leyes de De Morgan son fundamentales en probabilidad: el complementario de la unión es la intersección de los complementarios.