Problema de acciones y sistemas de ecuaciones lineales

**a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuántas acciones hemos comprado de cada empresa. (1.5 ptos)** En primer lugar, definimos las incógnitas que representan el número de acciones de cada empresa: - $x$: número de acciones de la empresa A. - $y$: número de acciones de la empresa B. - $z$: número de acciones de la empresa C. A continuación, traducimos las condiciones del enunciado a ecuaciones: 1) **Gasto total:** El valor de las acciones de A es $20x$, las de B es $25y$ y las de C es $40z$. La suma total es 7000 euros: $$20x + 25y + 40z = 7000$$ 2) **Relación entre acciones:** Las acciones de A son la mitad de la suma de las de B y C: $$x = \frac{1}{2}(y + z) \implies 2x = y + z \implies 2x - y - z = 0$$ 3) **Total de acciones:** La suma de todas las acciones es 255: $$x + y + z = 255$$ 💡 **Tip:** Es fundamental definir claramente qué representa cada variable antes de escribir las ecuaciones para no confundir unidades (acciones) con valores monetarios (euros). El sistema resultante es: $$\boxed{\begin{cases} 20x + 25y + 40z = 7000 \\ 2x - y - z = 0 \\ x + y + z = 255 \end{cases}}$$

**b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. (0.5 ptos)** Podemos simplificar la primera ecuación dividiendo todos sus términos entre 5 para facilitar los cálculos: $$20x + 25y + 40z = 7000 \xrightarrow{/5} 4x + 5y + 8z = 1400$$ Ahora tenemos el sistema: $$\begin{cases} (1) \quad 4x + 5y + 8z = 1400 \\ (2) \quad 2x - y - z = 0 \\ (3) \quad x + y + z = 255 \end{cases}$$ Observamos que en las ecuaciones (2) y (3) los términos en $y$ y $z$ tienen coeficientes opuestos. Si las sumamos miembro a miembro: $$(2x - y - z) + (x + y + z) = 0 + 255$$ $$3x = 255$$ $$x = \frac{255}{3} = 85$$ 💡 **Tip:** Al resolver sistemas, busca siempre combinaciones de ecuaciones que eliminen más de una variable a la vez, como ha ocurrido aquí al sumar (2) y (3). $$\boxed{x = 85 \text{ acciones de la empresa A}}$$

Sustituimos el valor de $x = 85$ en las ecuaciones (1) y (3) para obtener un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas ($y$ y $z$): De la ecuación (3): $$85 + y + z = 255 \implies y + z = 170 \implies y = 170 - z$$ De la ecuación (1) simplificada: $$4(85) + 5y + 8z = 1400$$ $$340 + 5y + 8z = 1400$$ $$5y + 8z = 1060$$ Sustituimos $y = 170 - z$ en esta última ecuación: $$5(170 - z) + 8z = 1060$$ $$850 - 5z + 8z = 1060$$ $$3z = 1060 - 850$$ $$3z = 210 \implies z = \frac{210}{3} = 70$$ Finalmente, calculamos $y$: $$y = 170 - 70 = 100$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = 85, \quad y = 100, \quad z = 70}$$