Cálculo de parámetros en una función polinómica

**De la función $G(x) = ax^3 + bx^2 + cx$ sabemos que tiene un punto de inflexión en $(2, -44)$ y un mínimo relativo en el punto de abscisa $(x=6)$. Con estos datos, halla razonadamente los valores de los parámetros $a, b$ y $c$ (1.5 ptos).** Para resolver este problema, utilizaremos las propiedades de las derivadas relacionadas con los extremos relativos y los puntos de inflexión. Primero, calculamos la primera y segunda derivada de $G(x)$: 1. **Función original:** $G(x) = ax^3 + bx^2 + cx$ 2. **Primera derivada** (útil para extremos relativos): $$G'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$$ 3. **Segunda derivada** (útil para la curvatura y puntos de inflexión): $$G''(x) = 6ax + 2b$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $x^n$ es $n \cdot x^{n-1}$. Como $a, b, c$ son constantes, se mantienen multiplicando a sus respectivos términos.

Sabemos que hay un **punto de inflexión** en $x=2$. En los puntos de inflexión, la segunda derivada se anula, es decir, $G''(2) = 0$. Sustituimos $x=2$ en $G''(x)$: $$G''(2) = 6a(2) + 2b = 0$$ $$12a + 2b = 0$$ Podemos simplificar dividiendo entre 2: $$\boxed{6a + b = 0 \implies b = -6a} \quad \text{(Ecuación 1)}$$

El enunciado indica que el punto de inflexión es $(2, -44)$. Esto significa que cuando $x=2$, la función vale $-44$, es decir, $G(2) = -44$. Sustituimos en la función original: $$G(2) = a(2)^3 + b(2)^2 + c(2) = -44$$ $$8a + 4b + 2c = -44$$ Simplificamos dividiendo entre 2: $$\boxed{4a + 2b + c = -22} \quad \text{(Ecuación 2)}$$

La función tiene un **mínimo relativo** en $x=6$. En cualquier extremo relativo (máximo o mínimo), la primera derivada es igual a cero: $G'(6) = 0$. Sustituimos $x=6$ en $G'(x)$: $$G'(6) = 3a(6)^2 + 2b(6) + c = 0$$ $$3a(36) + 12b + c = 0$$ $$\boxed{108a + 12b + c = 0} \quad \text{(Ecuación 3)}$$ 💡 **Tip:** Un punto crítico es aquel donde $f'(x)=0$. Para que sea un mínimo, además se debe cumplir que $f''(x) > 0$ en ese punto.

Ahora resolvemos el sistema formado por las tres ecuaciones: 1) $b = -6a$ 2) $4a + 2b + c = -22$ 3) $108a + 12b + c = 0$ Sustituimos $b = -6a$ en las ecuaciones 2 y 3: **En la (2):** $4a + 2(-6a) + c = -22 \implies 4a - 12a + c = -22 \implies -8a + c = -22$ Despejamos $c$: $c = 8a - 22$ **En la (3):** $108a + 12(-6a) + (8a - 22) = 0$ $108a - 72a + 8a - 22 = 0$ $44a = 22$ $$a = \frac{22}{44} = \frac{1}{2}$$ Calculamos **b**: $b = -6 \left(\frac{1}{2}\right) = -3$ Calculamos **c**: $c = 8 \left(\frac{1}{2}\right) - 22 = 4 - 22 = -18$ ✅ **Valores obtenidos:** $$\boxed{a = 0.5, \quad b = -3, \quad c = -18}$$ La función es $G(x) = 0.5x^3 - 3x^2 - 18x$.