Probabilidad: Lectura y Cine

**a) Se elige un habitante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que le guste la lectura y el cine? (0.75 ptos)** Primero, definimos los sucesos del problema basándonos en el enunciado: - $L$: El habitante es aficionado a la lectura. - $C$: El habitante es aficionado al cine. Traducimos los porcentajes a probabilidades decimales: - $P(L) = 40\% = 0.4$ - $P(C) = 50\% = 0.5$ - $P(L \cup C) = 70\% = 0.7$ (Probabilidad de que le guste la lectura **o** el cine **o** ambos). 💡 **Tip:** En probabilidad, la palabra "o" suele asociarse a la unión ($\cup$) y la palabra "y" a la intersección ($\cap$).

Para hallar la probabilidad de que le gusten ambas cosas ($P(L \cap C)$), utilizamos la propiedad de la probabilidad de la unión de dos sucesos: $$P(L \cup C) = P(L) + P(C) - P(L \cap C)$$ Sustituimos los valores conocidos en la fórmula: $$0.7 = 0.4 + 0.5 - P(L \cap C)$$ $$0.7 = 0.9 - P(L \cap C)$$ Despejamos $P(L \cap C)$: $$P(L \cap C) = 0.9 - 0.7 = 0.2$$ Esto significa que al **20%** de los habitantes les gusta la lectura y el cine a la vez. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(L \cap C) = 0.2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la probabilidad nunca puede ser mayor que 1 ni menor que 0.

Para visualizar mejor los datos antes de resolver el siguiente apartado, podemos organizar la información en una tabla de contingencia. Llamamos $\bar{L}$ y $\bar{C}$ a no gustar la lectura y no gustar el cine respectivamente: $$\begin{array}{c|cc|c} & C & \bar{C} & \text{Total} \\ \hline L & 0.2 & 0.2 & 0.4 \\ \bar{L} & 0.3 & 0.3 & 0.6 \\ \hline \text{Total} & 0.5 & 0.5 & 1.0 \end{array}$$ Calculamos los valores faltantes restando: - $P(L \cap \bar{C}) = P(L) - P(L \cap C) = 0.4 - 0.2 = 0.2$ - $P(\bar{L} \cap C) = P(C) - P(L \cap C) = 0.5 - 0.2 = 0.3$ - El resto se completa sabiendo que los totales deben sumar 1.

**b) Si elegimos un habitante al azar y le gusta el cine, ¿cuál es la probabilidad de que le guste la lectura? (0.75 ptos)** En este apartado nos piden una probabilidad condicionada. Sabemos que el habitante **ya es aficionado al cine** (suceso condicionante $C$), y queremos saber la probabilidad de que también le guste la lectura ($L$). Usamos la fórmula de la probabilidad condicionada: $$P(L|C) = \frac{P(L \cap C)}{P(C)}$$ Sustituimos con los valores obtenidos anteriormente: - $P(L \cap C) = 0.2$ - $P(C) = 0.5$ $$P(L|C) = \frac{0.2}{0.5} = 0.4$$ 💡 **Tip:** La probabilidad condicionada $P(A|B)$ reduce nuestro "universo" al suceso $B$. En este caso, solo nos fijamos en el 50% de la población que va al cine. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(L|C) = 0.4}$$