Probabilidad y Estadística 2018 Castilla la Mancha
Inferencia estadística: Intervalo de confianza para la media
6. Se desea investigar la resistencia en $\text{Kg/cm}^2$ de cierto material suministrado por un proveedor, se sabe que esa resistencia sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica $\sigma = 15 \text{ Kg/cm}^2$. Se tomó una muestra aleatoria de 400 elementos de ese material y se comprobó que la resistencia media de dicha muestra era de $110 \text{ Kg/cm}^2$.
a) Halla un intervalo de confianza para la media poblacional de la resistencia de ese material, con un nivel de confianza del 95 %. (1 pto)
b) Explica razonadamente el efecto que tendría sobre el intervalo de confianza el aumento o la disminución del nivel de confianza. (0.5 ptos)
c) ¿Se puede admitir que la media de resistencia $\mu$ del material pueda ser de $111 \text{ kg/cm}^2$ con una confianza del 95 %? Razona tu respuesta. (0.5 ptos)
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$z$ & 0.00 & 0.01 & 0.02 & 0.03 & 0.04 & 0.05 & 0.06 & 0.07 & 0.08 & 0.09 \\
\hline
1.8 & 0.9641 & 0.9649 & 0.9656 & 0.9664 & 0.9671 & 0.9678 & 0.9686 & 0.9693 & 0.9699 & 0.9706 \\
1.9 & 0.9713 & 0.9719 & 0.9726 & 0.9732 & 0.9738 & 0.9744 & 0.9750 & 0.9756 & 0.9761 & 0.9767 \\
\hline
\end{tabular}
Paso 1
Identificación de los datos del problema
**a) Halla un intervalo de confianza para la media poblacional de la resistencia de ese material, con un nivel de confianza del 95 %. (1 pto)**
Primero, extraemos los datos que nos proporciona el enunciado para la variable $X$: "resistencia del material en $\text{Kg/cm}^2$".
- La distribución es normal: $X \sim N(\mu, \sigma)$.
- Desviación típica poblacional: $\sigma = 15$.
- Tamaño de la muestra: $n = 400$.
- Media muestral: $\bar{x} = 110$.
- Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.95$.
💡 **Tip:** En los problemas de inferencia para la media, siempre necesitamos identificar la media de la muestra, el tamaño de esta y la desviación típica de la población.
Paso 2
Cálculo del valor crítico $z_{\alpha/2}$
Para un nivel de confianza del $95\%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$:
1. $1 - \alpha = 0.95 \implies \alpha = 0.05$.
2. Repartimos el error en dos colas: $\alpha/2 = 0.025$.
3. Buscamos el valor de $z$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.025 = 0.9750$.
Consultando la tabla proporcionada:
- En la fila **1.9** y la columna **0.06**, encontramos exactamente el valor **0.9750**.
Por tanto:
$$z_{\alpha/2} = 1.96$$
💡 **Tip:** Recuerda que $z_{\alpha/2}$ es el valor que deja un área de $\alpha/2$ a su derecha y, por tanto, un área de $1 - \alpha/2$ a su izquierda.
Paso 3
Cálculo del error máximo admisible
El error máximo admisible $E$ se calcula con la fórmula:
$$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$
Sustituimos los valores conocidos:
$$E = 1.96 \cdot \frac{15}{\sqrt{400}} = 1.96 \cdot \frac{15}{20}$$
$$E = 1.96 \cdot 0.75 = 1.47$$
El error cometido en la estimación es de **$1.47 \text{ Kg/cm}^2$**.
$$\boxed{E = 1.47}$$
Paso 4
Construcción del intervalo de confianza
El intervalo de confianza viene dado por la expresión:
$$I.C. = (\bar{x} - E, \bar{x} + E)$$
Sustituimos los valores obtenidos:
$$I.C. = (110 - 1.47, 110 + 1.47)$$
$$I.C. = (108.53, 111.47)$$
✅ **Resultado del apartado a):**
$$\boxed{I.C. = (108.53, 111.47)}$$
Paso 5
Efecto del cambio en el nivel de confianza
**b) Explica razonadamente el efecto que tendría sobre el intervalo de confianza el aumento o la disminución del nivel de confianza. (0.5 ptos)**
La amplitud (longitud) del intervalo de confianza depende directamente del valor crítico $z_{\alpha/2}$, ya que la amplitud es $2 \cdot E = 2 \cdot z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$.
- **Si el nivel de confianza aumenta** ($1-\alpha$ sube): El valor de $\alpha$ disminuye, lo que hace que el valor crítico $z_{\alpha/2}$ sea mayor. Al ser mayor $z_{\alpha/2}$, el error $E$ aumenta y el intervalo se vuelve **más ancho** (menos preciso).
- **Si el nivel de confianza disminuye** ($1-\alpha$ baja): El valor de $\alpha$ aumenta, lo que hace que el valor crítico $z_{\alpha/2}$ sea menor. Al ser menor $z_{\alpha/2}$, el error $E$ disminuye y el intervalo se vuelve **más estrecho** (más preciso).
💡 **Tip:** Existe una relación inversa entre precisión (intervalo estrecho) y seguridad (nivel de confianza). Si quieres estar más seguro de que la media está dentro, debes ensanchar el intervalo.
Paso 6
Verificación de un valor para la media poblacional
**c) ¿Se puede admitir que la media de resistencia $\mu$ del material pueda ser de $111 \text{ kg/cm}^2$ con una confianza del 95 %? Razona tu respuesta. (0.5 ptos)**
Para comprobar si un valor de la media poblacional $\mu$ es admisible con un nivel de confianza determinado, debemos verificar si dicho valor se encuentra dentro del intervalo de confianza calculado para ese mismo nivel.
En el apartado a) hemos obtenido que el intervalo al $95\%$ es:
$$I.C. = (108.53, 111.47)$$
Comprobamos si el valor propuesto $\mu = 111$ pertenece al intervalo:
$$108.53 < 111 < 111.47$$
Como $111 \in (108.53, 111.47)$, **sí se puede admitir** que la media de resistencia sea de $111 \text{ kg/cm}^2$ con una confianza del $95\%$.
✅ **Resultado del apartado c):**
$$\boxed{\text{Sí, porque 111 está contenido en el intervalo de confianza.}}$$