Potencias e inversa de una matriz

**1. a) Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} 2 & 7 \\ -1 & -3 \end{pmatrix}$ se pide que compruebes que su cuadrado coincide con su inversa, es decir: $A^2 = A^{-1}$. (0.75 ptos)** Primero calculamos $A^2$ multiplicando la matriz $A$ por sí misma: $$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 2 & 7 \\ -1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 7 \\ -1 & -3 \end{pmatrix}$$ Realizamos la multiplicación fila por columna: - Elemento (1,1): $(2 \cdot 2) + (7 \cdot -1) = 4 - 7 = -3$ - Elemento (1,2): $(2 \cdot 7) + (7 \cdot -3) = 14 - 21 = -7$ - Elemento (2,1): $(-1 \cdot 2) + (-3 \cdot -1) = -2 + 3 = 1$ - Elemento (2,2): $(-1 \cdot 7) + (-3 \cdot -3) = -7 + 9 = 2$ 💡 **Tip:** Para multiplicar matrices, recuerda: la fila $i$ de la primera por la columna $j$ de la segunda sumando los productos de sus elementos. $$\boxed{A^2 = \begin{pmatrix} -3 & -7 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}}$$

Para hallar $A^{-1}$ utilizaremos la fórmula: $$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A)^t$$ 1. Calculamos el determinante de $A$: $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & 7 \\ -1 & -3 \end{vmatrix} = (2 \cdot -3) - (7 \cdot -1) = -6 + 7 = 1$$ 2. Hallamos la matriz de adjuntos $\text{Adj}(A)$: - $A_{11} = +(-3) = -3$ - $A_{12} = -(-1) = 1$ - $A_{21} = -(7) = -7$ - $A_{22} = +(2) = 2$ $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ -7 & 2 \end{pmatrix}$$ 3. Trasponemos la matriz de adjuntos: $$\text{Adj}(A)^t = \begin{pmatrix} -3 & -7 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$ Como $|A| = 1$, entonces: $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} -3 & -7 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}}$$

Comparamos los resultados obtenidos en los pasos anteriores: $$A^2 = \begin{pmatrix} -3 & -7 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$ $$A^{-1} = \begin{pmatrix} -3 & -7 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$ Efectivamente, se cumple que **$A^2 = A^{-1}$**. 💡 **Tip:** Otra forma de comprobarlo sin calcular la inversa explícitamente es verificar si $A \cdot A^2 = I$ (la matriz identidad). Si esto ocurre, entonces $A^2$ debe ser la inversa de $A$.

**b) Calcula $A^3$ y $A^4$. (0.75 ptos)** Podemos calcular $A^3$ utilizando la propiedad demostrada en el apartado anterior. Sabemos que $A^2 = A^{-1}$. Si multiplicamos por $A$ en ambos lados: $$A \cdot A^2 = A \cdot A^{-1}$$ $$A^3 = I$$ Donde $I$ es la matriz identidad. Verificamos el cálculo: $$A^3 = A \cdot A^2 = \begin{pmatrix} 2 & 7 \\ -1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 & -7 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6+7 & -14+14 \\ 3-3 & 7-6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}$$

Para calcular $A^4$, utilizamos el resultado de $A^3$: $$A^4 = A^3 \cdot A$$ Como $A^3 = I$: $$A^4 = I \cdot A = A$$ Por tanto, la matriz $A^4$ es la propia matriz $A$: ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^4 = \begin{pmatrix} 2 & 7 \\ -1 & -3 \end{pmatrix}}$$ 💡 **Tip:** En potencias de matrices, cuando llegas a la identidad ($A^n = I$), la secuencia empieza a repetirse de forma cíclica.