Continuidad y extremos de una función a trozos

**a) ¿Para qué valor de $t$ la función $f(x)$ es continua en $x=0$? (0.5 ptos)** Para que la función sea continua en $x=0$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función en dicho punto: 1. $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$ Primero, definimos la función para $x \le 0$. Como en este intervalo $x$ es negativo o cero, $|x| = -x$. Así: $$f(x) = \begin{cases} -x + 5t & \text{si } x \le 0 \\ (x + t)^2 - 10x & \text{si } x > 0 \end{cases}$$ Calculamos los límites laterales: - Límite por la izquierda ($x \to 0^-$): $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0} (-x + 5t) = -0 + 5t = 5t$$ - Límite por la derecha ($x \to 0^+$): $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0} ((x + t)^2 - 10x) = (0 + t)^2 - 10(0) = t^2$$ - Valor de la función: $$f(0) = -0 + 5t = 5t$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que una función sea continua no puede haber un salto entre ramas en el punto de estudio.

Igualamos los límites laterales para asegurar que no hay salto: $$5t = t^2 \implies t^2 - 5t = 0$$ Factorizamos la ecuación de segundo grado: $$t(t - 5) = 0$$ Esto nos da dos posibles soluciones: 1. $t = 0$ 2. $t - 5 = 0 \implies t = 5$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{t = 0 \text{ y } t = 5}$$

**b) Para $t = 2$, calcula los extremos relativos de la función $f(x)$ en el intervalo $(0, +\infty)$. (0.5 ptos)** Si $t = 2$, nos centramos en la rama definida para $x \gt 0$: $$f(x) = (x + 2)^2 - 10x$$ Simplificamos la expresión expandiendo el binomio: $$f(x) = (x^2 + 4x + 4) - 10x = x^2 - 6x + 4$$ Para hallar los extremos relativos, calculamos la primera derivada: $$f'(x) = 2x - 6$$ 💡 **Tip:** Los extremos relativos (máximos y mínimos) se encuentran entre los puntos críticos donde la derivada es cero o no existe.

Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$2x - 6 = 0 \implies 2x = 6 \implies x = 3$$ Como $x = 3$ pertenece al intervalo $(0, +\infty)$, evaluamos si es un máximo o un mínimo usando la segunda derivada: $$f''(x) = 2$$ Como $f''(3) = 2 \gt 0$, la función tiene un **mínimo relativo** en $x = 3$. Calculamos la ordenada del punto: $$f(3) = 3^2 - 6(3) + 4 = 9 - 18 + 4 = -5$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Mínimo relativo en } (3, -5)}$$

**c) Para $t = 2$, calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x)$ en $(0, +\infty)$. (0.5 ptos)** Estudiamos el signo de la derivada $f'(x) = 2x - 6$ en el intervalo $(0, +\infty)$, teniendo en cuenta el punto crítico $x = 3$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 3) & 3 & (3, +\infty) \\\hline f'(x) & - & 0 & + \\\hline f(x) & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ - En el intervalo $(0, 3)$, tomamos $x=1$: $f'(1) = 2(1) - 6 = -4 \lt 0$ (**decreciente**). - En el intervalo $(3, +\infty)$, tomamos $x=4$: $f'(4) = 2(4) - 6 = 2 \gt 0$ (**creciente**). 💡 **Tip:** Una función crece cuando su derivada es positiva y decrece cuando es negativa. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Decreciente en } (0, 3) \text{ y Creciente en } (3, +\infty)}$$