Evolución de socios de un club de fútbol

**a) Calcula cuántos socios tiene el club en su inicio ($x = 0$) y cuántos en este momento ($x = 25$). (0.5 ptos)** Para conocer el número de socios, evaluamos la función $S(x)$ en los valores indicados. Debemos recordar que $S(x)$ representa **cientos** de socios. En el inicio ($x = 0$): $$S(0) = -\frac{1}{3}(0)^3 + \frac{21}{2}(0)^2 - 54(0) + 180 = 180 \text{ cientos de socios}.$$ Como cada unidad representa 100 socios: $180 \cdot 100 = 18,000$ socios. En el momento actual ($x = 25$): $$S(25) = -\frac{1}{3}(25)^3 + \frac{21}{2}(25)^2 - 54(25) + 180$$ $$S(25) = -\frac{15625}{3} + \frac{21 \cdot 625}{2} - 1350 + 180$$ $$S(25) = -5208.33 + 6562.5 - 1350 + 180 = 184.17 \text{ cientos (aprox)}.$$ En socios: $184.17 \cdot 100 \approx 18,417$ socios (exactamente $\frac{1105}{6} \cdot 100 \approx 18,416.67$). 💡 **Tip:** Presta mucha atención a las unidades. Si $S(x)$ está en cientos, un resultado de 180 significa 18,000 personas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Inicio: } 18,000 \text{ socios. Momento actual (25 años): } 18,417 \text{ socios (aprox).}}$$

**b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento del número de socios a lo largo de estos 25 años. (0.5 ptos)** Para estudiar el crecimiento y decrecimiento (monotonía), calculamos la primera derivada $S'(x)$: $$S'(x) = -\frac{1}{3} \cdot 3x^2 + \frac{21}{2} \cdot 2x - 54 = -x^2 + 21x - 54.$$ Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$-x^2 + 21x - 54 = 0 \implies x^2 - 21x + 54 = 0$$ Utilizamos la fórmula cuadrática: $$x = \frac{-(-21) \pm \sqrt{(-21)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 54}}{2 \cdot 1} = \frac{21 \pm \sqrt{441 - 216}}{2} = \frac{21 \pm \sqrt{225}}{2} = \frac{21 \pm 15}{2}$$ Esto nos da dos soluciones: - $x_1 = \frac{21 - 15}{2} = \frac{6}{2} = 3$ - $x_2 = \frac{21 + 15}{2} = \frac{36}{2} = 18$ Como el dominio es $0 \le x \le 25$, ambos puntos están dentro del intervalo de estudio. 💡 **Tip:** Los puntos donde la derivada es cero son candidatos a máximos y mínimos, y dividen el dominio en intervalos de crecimiento o decrecimiento.

Analizamos el signo de $S'(x)$ en los intervalos definidos por los puntos críticos dentro del dominio $[0, 25]$: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (0,3) & 3 & (3,18) & 18 & (18,25)\\ \hline S'(x) & - & 0 & + & 0 & -\\ \hline \text{Comportamiento} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow & \text{Máx} & \searrow \end{array}$$ **Justificación del signo:** - Para $x=1 \in (0,3): S'(1) = -1 + 21 - 54 = -34 \lt 0$ (**Decreciente**). - Para $x=10 \in (3,18): S'(10) = -100 + 210 - 54 = 56 \gt 0$ (**Creciente**). - Para $x=20 \in (18,25): S'(20) = -400 + 420 - 54 = -34 \lt 0$ (**Decreciente**). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{text} Creciente en: (3, 18) años. \\ Decreciente en: (0, 3) \cup (18, 25) años. \end{text}}$$

**c) Determina cuándo ha tenido el club su número máximo de socios y su número mínimo de socios, y cuántos socios tuvo en cada uno de esos momentos. (0.5 ptos)** Debemos comparar el valor de $S(x)$ en los extremos del dominio ($x=0, x=25$) y en los puntos críticos ($x=3, x=18$): 1. En $x=0$: $S(0) = 180$ (18,000 socios). 2. En $x=3$ (Mínimo relativo): $S(3) = -\frac{1}{3}(3)^3 + \frac{21}{2}(3)^2 - 54(3) + 180 = -9 + 94.5 - 162 + 180 = 103.5$ (10,350 socios). 3. En $x=18$ (Máximo relativo): $S(18) = -\frac{1}{3}(18)^3 + \frac{21}{2}(18)^2 - 54(18) + 180 = -1944 + 3402 - 972 + 180 = 666$ (66,600 socios). 4. En $x=25$: $S(25) \approx 184.17$ (18,417 socios). Comparando los valores: - El **máximo absoluto** se alcanzó a los **18 años** con **66,600 socios**. - El **mínimo absoluto** se alcanzó a los **3 años** con **10,350 socios**. 💡 **Tip:** En un intervalo cerrado, los extremos absolutos pueden estar en los puntos donde la derivada es cero o en los bordes del intervalo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{text} Máximo: a los 18 años con 66,600 socios. \\ Mínimo: a los 3 años con 10,350 socios. \end{text}}$$