Probabilidad y Estadística 2018 Castilla la Mancha
Probabilidad de créditos e impagos
5. En un cierto banco el 5 % de los créditos concedidos son para la compra de una motocicleta. De los créditos concedidos para la compra de una motocicleta, el 40 % resultan impagados. Del resto de créditos concedidos que no son para la compra de una motocicleta, se sabe que el 10 % de ellos resultan impagados.
a) Calcula la probabilidad de que elegido un crédito al azar sea de los impagados. (0.75 ptos)
b) Sabiendo que un crédito se ha pagado, ¿cuál es la probabilidad de que el crédito fuera para una motocicleta? (0.75 ptos)
Paso 1
Definición de sucesos y construcción del árbol de probabilidad
**a) Calcula la probabilidad de que elegido un crédito al azar sea de los impagados. (0.75 ptos)**
En primer lugar, definimos los sucesos que intervienen en el problema:
- $M$: El crédito es para la compra de una motocicleta.
- $\bar{M}$: El crédito no es para una motocicleta (otros).
- $I$: El crédito resulta impagado.
- $P$ o $\bar{I}$: El crédito se paga correctamente.
Extraemos los datos del enunciado:
- $P(M) = 5\% = 0,05$
- $P(\bar{M}) = 1 - 0,05 = 0,95$
- $P(I|M) = 40\% = 0,40$ (Probabilidad de impago si es moto)
- $P(I|\bar{M}) = 10\% = 0,10$ (Probabilidad de impago si no es moto)
Representamos la situación mediante un árbol de probabilidad:
Paso 2
Cálculo de la probabilidad total de impago
Para calcular la probabilidad de que un crédito sea impagado, $P(I)$, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total** sumando las ramas que terminan en el suceso $I$:
$$P(I) = P(M) \cdot P(I|M) + P(\bar{M}) \cdot P(I|\bar{M})$$
Sustituimos los valores obtenidos del árbol:
$$P(I) = 0,05 \cdot 0,40 + 0,95 \cdot 0,10$$
$$P(I) = 0,02 + 0,095$$
$$P(I) = 0,115$$
💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de todas las ramas que salen de un mismo nodo siempre debe ser igual a 1.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(I) = 0,115}$$
Paso 3
Cálculo de la probabilidad condicionada (Teorema de Bayes)
**b) Sabiendo que un crédito se ha pagado, ¿cuál es la probabilidad de que el crédito fuera para una motocicleta? (0.75 ptos)**
Nos piden calcular una probabilidad a posteriori: la probabilidad de que el crédito fuera para una moto sabiendo que ya se ha pagado, es decir, $P(M|P)$.
Primero, calculamos la probabilidad de que un crédito sea pagado, $P(P)$, que es el suceso contrario a impagado:
$$P(P) = 1 - P(I) = 1 - 0,115 = 0,885$$
Aplicamos la fórmula de la probabilidad condicionada o **Teorema de Bayes**:
$$P(M|P) = \frac{P(M \cap P)}{P(P)} = \frac{P(M) \cdot P(P|M)}{P(P)}$$
Observando el árbol, $P(P|M) = 1 - 0,40 = 0,60$. Sustituimos:
$$P(M|P) = \frac{0,05 \cdot 0,60}{0,885}$$
$$P(M|P) = \frac{0,03}{0,885} \approx 0,0339$$
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes se usa cuando conocemos el resultado final (se ha pagado) y queremos saber la probabilidad de una de las causas iniciales (era una motocicleta).
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(M|P) = \frac{2}{59} \approx 0,0339}$$