Inferencia estadística: Intervalo de confianza para la media

**a) Halla el intervalo de confianza para la media poblacional del tiempo entre compras de esta marca, con un nivel de confianza del 95 %. (1 pto)** Primero, identificamos los parámetros de la población y de la muestra: - La variable sigue una distribución normal $N(\mu, \sigma = 4)$. - Tamaño de la muestra: $n = 10$. - Datos de la muestra: $50, 58, 59, 60, 62, 63, 64, 65, 68, 71$. Calculamos la media muestral $\bar{x}$: $$\bar{x} = \dfrac{\sum x_i}{n} = \dfrac{50 + 58 + 59 + 60 + 62 + 63 + 64 + 65 + 68 + 71}{10} = \dfrac{620}{10} = 62.$$ 💡 **Tip:** En inferencia para la media, siempre necesitamos conocer o calcular $\bar{x}$, $\sigma$, $n$ y el valor crítico $z_{\alpha/2}$. $$\boxed{\bar{x} = 62 \text{ días}}$$

Para un nivel de confianza del $95\%$, tenemos: $1 - \alpha = 0.95 \implies \alpha = 0.05 \implies \dfrac{\alpha}{2} = 0.025.$ Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.025 = 0.9750$. Consultando la tabla de la normal $N(0, 1)$ proporcionada: En la fila de $1.9$ y la columna de $0.06$, encontramos exactamente el valor $0.9750$. Por lo tanto: $$z_{\alpha/2} = 1.96.$$ $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1.96}$$

El error máximo admisible se calcula con la fórmula: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores: $$E = 1.96 \cdot \dfrac{4}{\sqrt{10}} = 1.96 \cdot \dfrac{4}{3.1623} \approx 1.96 \cdot 1.2649 = 2.4792.$$ El intervalo de confianza es $IC = (\bar{x} - E, \bar{x} + E)$: $$IC = (62 - 2.4792, 62 + 2.4792) = (59.5208, 64.4792).$$ Redondeando a dos decimales: $$\boxed{IC = (59.52, 64.48)}$$

**b) Explica razonadamente, cómo podríamos disminuir la amplitud del intervalo de confianza, con el mismo nivel de confianza. (0.5 ptos)** La amplitud del intervalo de confianza es igual a dos veces el error: $A = 2E = 2 \cdot z_{\alpha/2} \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Si mantenemos el mismo nivel de confianza, $z_{\alpha/2}$ permanece constante. La desviación típica $\sigma$ es un parámetro fijo de la población. Por lo tanto, la única forma de disminuir la amplitud es actuando sobre el tamaño de la muestra $n$. Como $n$ está en el denominador de la expresión del error, si **aumentamos el tamaño de la muestra ($n$)**, el valor de la fracción $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ disminuye, reduciendo así el error y, por consiguiente, la **amplitud del intervalo**. 💡 **Tip:** A mayor tamaño de muestra, mayor precisión (intervalo más estrecho) para un mismo nivel de confianza. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Aumentando el tamaño de la muestra } n}$$

**c) ¿Crees que la media poblacional $\mu$ del tiempo entre compras puede ser 64 días con una probabilidad del 99 %? Razona tu respuesta. (0.5 ptos)** Hay que distinguir entre **confianza** y **probabilidad** en este contexto: 1. **Conceptualmente:** En estadística clásica, la media poblacional $\mu$ es un valor fijo y desconocido, no una variable aleatoria. Por tanto, no tiene sentido decir que $\mu$ vale 64 con una probabilidad del $99\%$. La probabilidad de que $\mu = 64$ es o 0 o 1. 2. **Pertenencia al intervalo:** Si calculamos el intervalo de confianza al $99\%$, el valor crítico sería $z_{\alpha/2} \approx 2.575$. El error sería: $$E_{99} = 2.575 \cdot \dfrac{4}{\sqrt{10}} \approx 3.26.$$ El intervalo sería $IC_{99} = (62 - 3.26, 62 + 3.26) = (58.74, 65.26)$. Como el valor $64$ está dentro de este intervalo, es un valor **plausible** para la media poblacional con un nivel de confianza del $99\%$. **Conclusión:** La afirmación es incorrecta en su forma (no se habla de probabilidad de la media), pero el valor 64 es compatible con los datos al $99\%$ de confianza. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No es correcto hablar de probabilidad de } \mu, \text{ pero 64 es un valor compatible al } 99\% \text{ de confianza.}}$$