Optimización mediante Programación Lineal

**a) Dibuja la región factible. (1 pto)** Para dibujar la región factible, primero transformamos las inecuaciones en rectas de frontera y determinamos qué semiplano satisface cada restricción: 1. **Recta $r_1$:** $x + 7y = 58$ * Si $x = 2 \implies 2 + 7y = 58 \implies 7y = 56 \implies y = 8 \rightarrow (2, 8)$ * Si $x = 9 \implies 9 + 7y = 58 \implies 7y = 49 \implies y = 7 \rightarrow (9, 7)$ * Probamos el origen $(0,0)$: $0 + 7(0) \le 58$ (Verdadero). La región es el semiplano que contiene al $(0,0)$. 2. **Recta $r_2$:** $4x + 5y = 48$ * Si $x = 12 \implies y = 0 \rightarrow (12, 0)$ * Si $x = 7 \implies 28 + 5y = 48 \implies 5y = 20 \implies y = 4 \rightarrow (7, 4)$ * Probamos el origen $(0,0)$: $4(0) + 5(0) \ge 48$ (Falso). La región es el semiplano que **no** contiene al $(0,0)$. 3. **Recta $r_3$:** $3x - 2y = 13$ * Si $x = 5 \implies 15 - 2y = 13 \implies y = 1 \rightarrow (5, 1)$ * Si $x = 7 \implies 21 - 2y = 13 \implies 2y = 8 \implies y = 4 \rightarrow (7, 4)$ * Probamos el origen $(0,0)$: $3(0) - 2(0) \le 13$ (Verdadero). La región es el semiplano que contiene al $(0,0)$. 💡 **Tip:** Para dibujar una recta basta con obtener dos puntos. Suele ser útil usar los puntos de corte con los ejes o valores que den resultados enteros. La intersección de estos semiplanos define la **región factible**.

**b) Determina los vértices de la región factible. (0.25 ptos)** Los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones formados por las rectas que se cortan: * **Vértice A (Intersección de $r_1$ y $r_2$):** $$\begin{cases} x + 7y = 58 \\ 4x + 5y = 48 \end{cases}$$ Multiplicamos la primera por $-4$: $-4x - 28y = -232$. Sumamos: $-23y = -184 \implies y = 8$. Sustituyendo: $x + 7(8) = 58 \implies x = 2$. Así, **$A(2, 8)$**. * **Vértice B (Intersección de $r_1$ y $r_3$):** $$\begin{cases} x + 7y = 58 \\ 3x - 2y = 13 \end{cases}$$ Despejamos $x = 58 - 7y$ y sustituimos: $3(58 - 7y) - 2y = 13 \implies 174 - 21y - 2y = 13 \implies -23y = -161 \implies y = 7$. Sustituyendo: $x = 58 - 7(7) = 9$. Así, **$B(9, 7)$**. * **Vértice C (Intersección de $r_2$ y $r_3$):** $$\begin{cases} 4x + 5y = 48 \\ 3x - 2y = 13 \end{cases}$$ Multiplicamos la primera por $2$ y la segunda por $5$: $$\begin{cases} 8x + 10y = 96 \\ 15x - 10y = 65 \end{cases}$$ Sumamos: $23x = 161 \implies x = 7$. Sustituyendo: $3(7) - 2y = 13 \implies 21 - 2y = 13 \implies 2y = 8 \implies y = 4$. Así, **$C(7, 4)$**. ✅ **Resultado (vértices):** $$\boxed{A(2, 8), \quad B(9, 7), \quad C(7, 4)}$$

**c) Indica la solución óptima del problema dado y su valor. (0.25 ptos)** Evaluamos la función objetivo $F(x, y) = -x + 6y$ en cada uno de los vértices hallados para encontrar el valor mínimo: 1. En el punto $A(2, 8)$: $$F(2, 8) = -(2) + 6(8) = -2 + 48 = 46$$ 2. En el punto $B(9, 7)$: $$F(9, 7) = -(9) + 6(7) = -9 + 42 = 33$$ 3. En el punto $C(7, 4)$: $$F(7, 4) = -(7) + 6(4) = -7 + 24 = 17$$ Comparando los valores obtenidos ($46, 33, 17$), observamos que el valor mínimo es **17**. 💡 **Tip:** El Teorema Fundamental de la Programación Lineal garantiza que, si existe solución óptima, esta se encuentra en uno de los vértices de la región factible o en un segmento que los une. ✅ **Solución óptima:** $$\boxed{\text{El mínimo se alcanza en el punto } C(7, 4) \text{ con un valor de } F = 17}$$