Problema de botellas de vino (Sistema de ecuaciones)

**a) Plantea un sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuántas botellas hay de cada tipo de vino. (1.5 ptos)** Primero, definimos las incógnitas que representan las cantidades que queremos hallar: - $x$: número de botellas de vino blanco. - $y$: número de botellas de vino tinto. - $z$: número de botellas de vino rosado. Ahora traducimos cada frase del enunciado a una ecuación matemática: 1. "Si sumamos las botellas de vino blanco con las de tinto obtenemos el triple de las botellas de rosado": $$x + y = 3z$$ 2. "La suma de las botellas de tinto con las de rosado supera en 40 unidades a las botellas de blanco": $$y + z = x + 40$$ 3. "Sabemos que Antonio tiene en su bodega 280 botellas": $$x + y + z = 280$$ 💡 **Tip:** Al traducir problemas, la palabra "es", "obtenemos" o "equivale" suele representar el signo igual ($=$).

Para trabajar con el sistema de forma cómoda, vamos a ordenar las ecuaciones colocando todas las incógnitas a la izquierda y los términos independientes a la derecha: 1. De $x + y = 3z$ obtenemos: $x + y - 3z = 0$ 2. De $y + z = x + 40$ obtenemos: $-x + y + z = 40$ 3. La tercera ya está ordenada: $x + y + z = 280$ El sistema de ecuaciones lineales es: $$\boxed{\begin{cases} x + y - 3z = 0 \\ -x + y + z = 40 \\ x + y + z = 280 \end{cases}}$$

**b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. (0.5 ptos)** Observamos que en la primera ecuación tenemos $x + y = 3z$. Podemos aprovechar esta relación sustituyéndola directamente en la tercera ecuación: Sustituimos $x + y$ por $3z$ en $x + y + z = 280$: $$(x + y) + z = 280 \implies 3z + z = 280$$ $$4z = 280$$ $$z = \frac{280}{4} = 70$$ Ya sabemos que hay **70 botellas de vino rosado**. 💡 **Tip:** No siempre es necesario usar Gauss. A veces, observar relaciones entre las ecuaciones simplifica mucho el cálculo.

Ahora sustituimos el valor $z = 70$ en las dos primeras ecuaciones originales para obtener un sistema más pequeño de dos incógnitas ($x$ e $y$): 1. $x + y = 3(70) \implies x + y = 210$ 2. $-x + y + 70 = 40 \implies -x + y = 40 - 70 \implies -x + y = -30$ Utilizamos el método de reducción sumando ambas ecuaciones: $$\begin{array}{rrcr} & x + y & = & 210 \\ + & -x + y & = & -30 \\ \hline & 2y & = & 180 \end{array}$$ Despejamos $y$: $$y = \frac{180}{2} = 90$$ Finalmente, calculamos $x$ usando la ecuación $x + y = 210$: $$x + 90 = 210 \implies x = 210 - 90 = 120$$ 💡 **Tip:** Al terminar, es recomendable sumar los tres valores ($120+90+70=280$) para comprobar que coinciden con el total dado.

Hemos obtenido los valores para cada tipo de vino: - Vino blanco ($x$): 120 botellas - Vino tinto ($y$): 90 botellas - Vino rosado ($z$): 70 botellas ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = 120, \quad y = 90, \quad z = 70}$$