Continuidad y estudio de extremos en funciones a trozos

**a) ¿Para qué valor de $t$ la función $f(x)$ es continua en $x=0$? (0.5 ptos)** Para que la función sea continua en $x=0$, se deben cumplir tres condiciones: 1. Que exista la imagen de la función: $f(0)$. 2. Que exista el límite cuando $x \to 0$. 3. Que ambos valores coincidan: $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$. Calculamos los límites laterales en el punto de salto: - **Límite por la izquierda ($x \to 0^-$):** Usamos la rama $f(x) = |x + 2| + t$ $$\lim_{x \to 0^-} (|x + 2| + t) = |0 + 2| + t = 2 + t$$ - **Límite por la derecha ($x \to 0^+$):** Usamos la rama $f(x) = (x - t)^2$ $$\lim_{x \to 0^+} (x - t)^2 = (0 - t)^2 = t^2$$ - **Valor de la función en el punto:** $$f(0) = |0 + 2| + t = 2 + t$$ Para que sea continua, igualamos los límites laterales: $$2 + t = t^2 \implies t^2 - t - 2 = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que una función sea continua no debe haber saltos en el punto de unión de las ramas.

Resolvemos la ecuación de segundo grado $t^2 - t - 2 = 0$ utilizando la fórmula general: $$t = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1}$$ $$t = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$$ Obtenemos dos posibles valores: - $t_1 = \frac{4}{2} = 2$ - $t_2 = \frac{-2}{2} = -1$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{t = 2 \quad \text{y} \quad t = -1}$$

**b) Calcula los extremos relativos de la función $f(x)$ en el intervalo $(0, +\infty)$ con $t = 3$. (0.5 ptos)** Sustituimos $t = 3$ en la rama correspondiente al intervalo $(0, +\infty)$: $$f(x) = (x - 3)^2$$ Para hallar los extremos relativos, primero calculamos la derivada $f'(x)$ y buscamos sus puntos críticos igualando a cero: $$f'(x) = 2(x - 3) \cdot 1 = 2x - 6$$ Igualamos a cero: $$2x - 6 = 0 \implies 2x = 6 \implies x = 3$$ Como $x = 3$ pertenece al intervalo $(0, +\infty)$, es un posible extremo relativo. 💡 **Tip:** Recuerda que los extremos relativos (máximos o mínimos) se encuentran entre los puntos donde la derivada es cero o no existe.

**c) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x)$ en $(0, +\infty)$ con $t = 3$. (0.5 ptos)** Analizamos el signo de la primera derivada $f'(x) = 2x - 6$ en el intervalo $(0, +\infty)$ dividiéndolo por el punto crítico $x=3$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 3) & 3 & (3, +\infty)\\\hline f'(x) & - & 0 & +\\\hline f(x) & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array}$$ - En el intervalo $(0, 3)$, tomamos $x=1$: $f'(1) = 2(1)-6 = -4 \lt 0$, por lo que la función **decrece**. - En el intervalo $(3, +\infty)$, tomamos $x=4$: $f'(4) = 2(4)-6 = 2 \gt 0$, por lo que la función **crece**. Al pasar de decreciente a creciente en $x=3$, existe un **mínimo relativo**. Calculamos la coordenada $y$ del mínimo: $$f(3) = (3 - 3)^2 = 0$$ ✅ **Resultados:** $$\boxed{\text{Mínimo relativo en } (3, 0)}$$ $$\boxed{\text{Decreciente en: } (0, 3)}$$ $$\boxed{\text{Creciente en: } (3, +\infty)}$$