Cálculo de parámetros en una función polinómica

El enunciado nos da dos puntos que pertenecen a la gráfica de la función: $(0,0)$ y $(1,7)$. Esto nos proporciona dos ecuaciones directas sustituyendo en $f(x)$: 1. **Si pasa por $(0,0)$:** $f(0) = 0$ 2. **Si pasa por $(1,7)$:** $f(1) = 7$ Además, se nos indica que ambos puntos son **puntos de inflexión**. En Bachillerato, la condición necesaria para que un punto sea de inflexión es que la segunda derivada en ese punto sea igual a cero ($f''(x) = 0$): 3. **Punto de inflexión en $x=0$:** $f''(0) = 0$ 4. **Punto de inflexión en $x=1$:** $f''(1) = 0$ 💡 **Tip:** Recuerda que si un punto $(x_0, y_0)$ es un punto de la gráfica, cumple $f(x_0) = y_0$. Si además es un punto de inflexión, debe cumplir que $f''(x_0) = 0$.

Usamos la primera condición: la función pasa por el origen $(0,0)$. $$f(0) = a(0)^5 + b(0)^3 + c = 0$$ $$0 + 0 + c = 0$$ De aquí obtenemos directamente el valor de la constante $c$: $$\boxed{c = 0}$$

Para aplicar las condiciones de los puntos de inflexión, primero calculamos la primera y segunda derivada de $f(x) = ax^5 + bx^3 + c$: **Primera derivada:** $$f'(x) = 5ax^4 + 3bx^2$$ **Segunda derivada:** $$f''(x) = 20ax^3 + 6bx$$ 💡 **Tip:** Para derivar potencias, usamos la regla $(x^n)' = nx^{n-1}$. Los coeficientes $a$ y $b$ se mantienen multiplicando.

Ahora aplicamos las condiciones restantes: **1. Punto $(1,7)$ pertenece a la función:** Como $f(1) = 7$ y ya sabemos que $c=0$: $$a(1)^5 + b(1)^3 + 0 = 7 \implies a + b = 7$$ **2. Punto de inflexión en $x=1$:** Como $f''(1) = 0$: $$20a(1)^3 + 6b(1) = 0 \implies 20a + 6b = 0$$ *(Nota: La condición de punto de inflexión en $x=0$, $f''(0)=0$, nos daría $20a(0)^3 + 6b(0) = 0$, que es $0=0$. No aporta información nueva pero confirma la estructura de la función).* Tenemos el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: $$\begin{cases} a + b = 7 \\ 20a + 6b = 0 \end{cases}$$

Podemos simplificar la segunda ecuación dividiendo entre 2: $$10a + 3b = 0$$ Ahora despejamos $b$ de la primera ecuación: $$b = 7 - a$$ Sustituimos en la ecuación simplificada: $$10a + 3(7 - a) = 0$$ $$10a + 21 - 3a = 0$$ $$7a = -21$$ $$a = \frac{-21}{7} = -3$$ Calculamos $b$: $$b = 7 - (-3) = 10$$ 💡 **Tip:** Siempre es buena idea simplificar las ecuaciones del sistema antes de resolver para evitar errores de cálculo con números grandes.

Hemos hallado los tres parámetros solicitados: - $a = -3$ - $b = 10$ - $c = 0$ La función es $f(x) = -3x^5 + 10x^3$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = -3, \quad b = 10, \quad c = 0}$$