Probabilidad de diagnóstico y Teorema de Bayes

Para resolver este problema de probabilidad, primero definiremos los sucesos y organizaremos la información en un árbol de probabilidad. Sean los sucesos: - $E$: La persona padece la enfermedad. - $\bar{E}$: La persona no padece la enfermedad (está sana). - $+$: El diagnóstico da positivo. - $-$: El diagnóstico da negativo. Del enunciado extraemos las siguientes probabilidades: - $P(E) = 10\% = 0,10$ - $P(\bar{E}) = 1 - 0,10 = 0,90$ - $P(+|E) = 97\% = 0,97$ (Probabilidad de positivo estando enfermo) - $P(-|E) = 1 - 0,97 = 0,03$ - $P(+|\bar{E}) = 1\% = 0,01$ (Probabilidad de positivo estando sano) - $P(-|\bar{E}) = 1 - 0,01 = 0,99$ Representamos estos datos en un diagrama de árbol:

**a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona obtenga un diagnóstico positivo? (0.75 ptos)** Para calcular la probabilidad total de obtener un diagnóstico positivo, sumamos las probabilidades de ser positivo estando enfermo y de ser positivo estando sano. Utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**: $$P(+) = P(E \cap +) + P(\bar{E} \cap +)$$ $$P(+) = P(E) \cdot P(+|E) + P(\bar{E}) \cdot P(+|\bar{E})$$ Sustituimos los valores obtenidos en el árbol: $$P(+) = (0,10 \cdot 0,97) + (0,90 \cdot 0,01)$$ $$P(+) = 0,097 + 0,009 = 0,106$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la probabilidad total es la suma de todas las "ramas" que terminan en el suceso deseado (en este caso, el signo $+$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(+) = 0,106}$$ (Es decir, un $10,6\%$ de la población dará positivo).

**b) Si una persona obtiene negativo en el test, ¿cuál es la probabilidad de que tenga la enfermedad? (0.75 ptos)** Se nos pide calcular la probabilidad de que la persona esté enferma ($E$) sabiendo que el test ha sido negativo ($-$). Esto es una probabilidad condicionada $P(E|-)$. Utilizamos el **Teorema de Bayes**: $$P(E|-) = \frac{P(E \cap -)}{P(-)}$$ Primero, calculamos $P(-)$. Como es el suceso contrario a positivo: $$P(-) = 1 - P(+) = 1 - 0,106 = 0,894$$ Ahora, calculamos la probabilidad de la intersección (estar enfermo y dar negativo): $$P(E \cap -) = P(E) \cdot P(-|E) = 0,10 \cdot 0,03 = 0,003$$ Finalmente, aplicamos la fórmula: $$P(E|-) = \frac{0,003}{0,894} \approx 0,0033557$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes siempre relaciona la probabilidad condicionada "a posteriori" con las probabilidades "a priori". Aquí estamos calculando la probabilidad de que el test falle al no detectar la enfermedad. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(E|-) \approx 0,00336}$$ (Aproximadamente un $0,34\%$).