Probabilidad y Estadística 2018 Castilla la Mancha
Inferencia estadística: Intervalo de confianza y error
6. Para hacer un estudio del uso de las nuevas tecnologías (NT) por parte de los jóvenes de un centro escolar, se tomó una muestra aleatoria de 10 menores, siendo el número de horas semanales que hacían uso de las nuevas tecnologías: 4.2, 4.6, 5, 5.7, 5.8, 5.9, 6.1, 6.2, 6.5 y 7.3 respectivamente. Sabiendo que la variable “número de horas diarias de uso de NT” sigue una distribución normal de desviación típica 2.1 horas, se pide:
a) Halla el intervalo de confianza para el número medio diario de horas que hacen uso de las nuevas tecnologías los alumnos de dicho centro con un nivel de confianza del 97 %. (1 pto)
b) Explica razonadamente, cómo podríamos disminuir la amplitud del intervalo de confianza. (0.5 ptos)
c) ¿Crees que la media poblacional $\mu$ del número medio de horas es 4 horas con una probabilidad del 90 %? Razona tu respuesta. (0.5 ptos)
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
z & 0.00 & 0.01 & 0.02 & 0.03 & 0.04 & 0.05 & 0.06 & 0.07 & 0.08 & 0.09 \\
\hline
2.0 & 0.9772 & 0.9778 & 0.9783 & 0.9788 & 0.9793 & 0.9798 & 0.9803 & 0.9808 & 0.9812 & 0.9817 \\
2.1 & 0.9821 & 0.9826 & 0.9830 & 0.9834 & 0.9838 & 0.9842 & 0.9846 & 0.9850 & 0.9854 & 0.9857 \\
\hline
\end{array}$$
Paso 1
Cálculo de la media muestral
**a) Halla el intervalo de confianza para el número medio diario de horas que hacen uso de las nuevas tecnologías los alumnos de dicho centro con un nivel de confianza del 97 %. (1 pto)**
Primero, calculamos la media de la muestra de tamaño $n=10$. La media muestral $\bar{x}$ se obtiene sumando todos los valores y dividiendo por el número total de datos:
$$\bar{x} = \frac{4.2 + 4.6 + 5 + 5.7 + 5.8 + 5.9 + 6.1 + 6.2 + 6.5 + 7.3}{10}$$
$$\bar{x} = \frac{57.3}{10} = 5.73$$
Los datos del problema son:
- Tamaño de la muestra: $n = 10$
- Desviación típica poblacional: $\sigma = 2.1$
- Media muestral: $\bar{x} = 5.73$
💡 **Tip:** Recuerda que para construir el intervalo de confianza de la media poblacional $\mu$, cuando conocemos la desviación típica poblacional $\sigma$, usamos la fórmula $I.C. = (\bar{x} - E, \bar{x} + E)$.
Paso 2
Determinación del valor crítico z para el 97 %
Para un nivel de confianza del $97 \%$, tenemos:
$1 - \alpha = 0.97 \implies \alpha = 0.03 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.015$
Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que la probabilidad acumulada sea:
$$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.015 = 0.985$$
Consultando la tabla normal proporcionada:
- Buscamos el valor $0.9850$ en el cuerpo de la tabla.
- Vemos que corresponde a la fila **2.1** y la columna **0.07**.
Por tanto:
$$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.17}$$
💡 **Tip:** El nivel de confianza es el área central bajo la campana de Gauss. Si el centro es $0.97$, queda un $0.03$ a repartir en las dos colas ($0.015$ en cada una).
Paso 3
Cálculo del error máximo admisible
Calculamos el error $E$ mediante la fórmula:
$$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$
Sustituimos los valores conocidos:
$$E = 2.17 \cdot \frac{2.1}{\sqrt{10}}$$
$$E = 2.17 \cdot \frac{2.1}{3.1623} \approx 2.17 \cdot 0.6641 = 1.4411$$
El margen de error es aproximadamente **1.4411** horas.
Paso 4
Construcción del intervalo de confianza
El intervalo de confianza es $(\bar{x} - E, \bar{x} + E)$:
$$I.C. = (5.73 - 1.4411, 5.73 + 1.4411)$$
$$I.C. = (4.2889, 7.1711)$$
Redondeando a dos decimales:
✅ **Resultado:**
$$\boxed{I.C. = (4.29, 7.17)}$$
Paso 5
Análisis de la amplitud del intervalo
**b) Explica razonadamente, cómo podríamos disminuir la amplitud del intervalo de confianza. (0.5 ptos)**
La amplitud del intervalo de confianza viene dada por la fórmula $A = 2 \cdot E = 2 \cdot z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$.
Para disminuir la amplitud (hacer el intervalo más estrecho y preciso), podemos actuar sobre dos factores:
1. **Aumentar el tamaño de la muestra ($n$):** Como $n$ está en el denominador de la fracción $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$, un mayor valor de $n$ reduce el error estándar y, por tanto, la amplitud.
2. **Disminuir el nivel de confianza ($1-\alpha$):** Al reducir el nivel de confianza, el valor crítico $z_{\alpha/2}$ será menor, lo que disminuye el error y la amplitud del intervalo (a costa de tener menos seguridad en que el parámetro esté dentro).
💡 **Tip:** Aunque matemáticamente reducir $\sigma$ también disminuiría la amplitud, en la práctica la desviación típica poblacional es una característica intrínseca de la variable y no se puede modificar a voluntad.
Paso 6
Probabilidad y valor puntual de la media
**c) ¿Crees que la media poblacional $\mu$ del número medio de horas es 4 horas con una probabilidad del 90 %? Razona tu respuesta. (0.5 ptos)**
La respuesta es **no**, por dos razones fundamentales:
1. **Interpretación estadística:** En estadística clásica o frecuenteista, la media poblacional $\mu$ es un valor **fijo y constante** (aunque desconocido). No tiene sentido hablar de la "probabilidad de que $\mu$ sea igual a un valor concreto". Lo que es aleatorio es el intervalo calculado a partir de la muestra.
2. **Evidencia muestral:** Si construyéramos un intervalo de confianza al $90 \%$, este sería aún más estrecho que el calculado en el apartado a). Dado que nuestra media muestral es $5.73$ y el valor $4$ queda fuera del intervalo de confianza incluso al $97 \%$ (que es más ancho), es muy improbable que la media poblacional sea $4$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{\text{No, } \mu ext{ es un parámetro fijo y el valor 4 no cae dentro del rango probable según la muestra.}}$$