Operaciones con matrices: dimensiones y producto

**a) De los siguientes productos, explica razonadamente cuáles pueden realizarse y cuáles no: $A \cdot B$ ; $A \cdot C$ ; $A \cdot D$ ; $C \cdot D$. (0.5 ptos)** Para que se pueda realizar el producto de dos matrices, el número de **columnas de la primera matriz** debe coincidir con el número de **filas de la segunda matriz**. Es decir, si tenemos una matriz $M_{m \times n}$ y otra $N_{p \times q}$, el producto $M \cdot N$ solo es posible si $n = p$. El resultado será una matriz de dimensiones $m \times q$. Identificamos las dimensiones de las matrices dadas: - $A$ es una matriz de $2$ filas y $3$ columnas: $2 \times 3$ - $B$ es una matriz de $3$ filas y $2$ columnas: $3 \times 2$ - $C$ es una matriz de $3$ filas y $1$ columna: $3 \times 1$ - $D$ es una matriz de $1$ fila y $3$ columnas: $1 \times 3$ 💡 **Tip:** Recuerda que la dimensión de una matriz se indica siempre como (filas $\times$ columnas).

Analizamos cada caso según sus dimensiones: 1. **$A \cdot B$**: $(2 \times 3) \cdot (3 \times 2)$. Como el número de columnas de $A$ ($3$) es igual al número de filas de $B$ ($3$), el producto **se puede realizar**. El resultado será una matriz $2 \times 2$. 2. **$A \cdot C$**: $(2 \times 3) \cdot (3 \times 1)$. Como el número de columnas de $A$ ($3$) es igual al número de filas de $C$ ($3$), el producto **se puede realizar**. El resultado será una matriz $2 \times 1$. 3. **$A \cdot D$**: $(2 \times 3) \cdot (1 \times 3)$. Como el número de columnas de $A$ ($3$) es distinto al número de filas de $D$ ($1$), el producto **no se puede realizar**. 4. **$C \cdot D$**: $(3 \times 1) \cdot (1 \times 3)$. Como el número de columnas de $C$ ($1$) es igual al número de filas de $D$ ($1$), el producto **se puede realizar**. El resultado será una matriz $3 \times 3$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Se pueden realizar: } A \cdot B, A \cdot C \text{ y } C \cdot D. \text{ No se puede realizar: } A \cdot D}$$

**b) De los productos anteriores, realiza correctamente aquéllos que den como resultado una matriz cuadrada. (1 pto)** Una matriz es cuadrada si tiene el mismo número de filas que de columnas. De los productos posibles analizados en el apartado anterior: - $A \cdot B$ da una matriz $2 \times 2$ (**Cuadrada**). - $A \cdot C$ da una matriz $2 \times 1$ (**No cuadrada**). - $C \cdot D$ da una matriz $3 \times 3$ (**Cuadrada**). Calculamos primero $A \cdot B$: $$A \cdot B = \begin{pmatrix} -1 & -2 & 0 \\ 3 & 0 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -5 & 0 \\ -1 & -3 \end{pmatrix}$$ Multiplicamos filas de la primera por columnas de la segunda: - Fila 1 $\times$ Columna 1: $(-1) \cdot 2 + (-2) \cdot (-5) + 0 \cdot (-1) = -2 + 10 + 0 = 8$ - Fila 1 $\times$ Columna 2: $(-1) \cdot 2 + (-2) \cdot 0 + 0 \cdot (-3) = -2 + 0 + 0 = -2$ - Fila 2 $\times$ Columna 1: $3 \cdot 2 + 0 \cdot (-5) + 3 \cdot (-1) = 6 + 0 - 3 = 3$ - Fila 2 $\times$ Columna 2: $3 \cdot 2 + 0 \cdot 0 + 3 \cdot (-3) = 6 + 0 - 9 = -3$ ✅ **Resultado del primer producto:** $$\boxed{A \cdot B = \begin{pmatrix} 8 & -2 \\ 3 & -3 \end{pmatrix}}$$

Calculamos el producto $C \cdot D$, que resulta en una matriz de dimensiones $3 \times 3$: $$C \cdot D = \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 & 3 \end{pmatrix}$$ Multiplicamos cada elemento de la fila de $C$ por cada elemento de la columna de $D$: - Fila 1: $\begin{pmatrix} 4 \cdot 0 & 4 \cdot (-1) & 4 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -4 & 12 \end{pmatrix}$ - Fila 2: $\begin{pmatrix} (-4) \cdot 0 & (-4) \cdot (-1) & (-4) \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 4 & -12 \end{pmatrix}$ - Fila 3: $\begin{pmatrix} 1 \cdot 0 & 1 \cdot (-1) & 1 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 3 \end{pmatrix}$ 💡 **Tip:** El producto de una matriz columna $(n \times 1)$ por una matriz fila $(1 \times n)$ siempre resulta en una matriz cuadrada de tamaño $n \times n$. ✅ **Resultado del segundo producto:** $$\boxed{C \cdot D = \begin{pmatrix} 0 & -4 & 12 \\ 0 & 4 & -12 \\ 0 & -1 & 3 \end{pmatrix}}$$