Problema de sistemas de ecuaciones: Concesionario de coches

**a) Plantea un sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuántos coches hay de cada tipo. (1.5 ptos)** Primero, definimos las incógnitas basándonos en los tres tipos de coches que menciona el enunciado: - $x$: número de coches de **gasolina**. - $y$: número de coches **diésel**. - $z$: número de coches **híbridos**. Traducimos la información del enunciado a ecuaciones matemáticas: 1. **Total de coches:** "guardan 100 automóviles": $$x + y + z = 100$$ 2. **Relación entre diésel, gasolina e híbridos:** "la diferencia entre los diésel ($y$) y los de gasolina ($x$) es igual a la mitad del número de híbridos ($z/2$)": $$y - x = \dfrac{z}{2}$$ 3. **Relación entre gasolina, híbridos y diésel:** "la diferencia entre los de gasolina ($x$) e híbridos ($z$) es igual a la tercera parte de los diésel ($y/3$)": $$x - z = \dfrac{y}{3}$$ 💡 **Tip:** Para trabajar más cómodamente, eliminamos los denominadores multiplicando cada ecuación por su respectivo número (2 y 3) y ordenamos las variables: - De $y - x = \dfrac{z}{2} \implies 2y - 2x = z \implies -2x + 2y - z = 0$ - De $x - z = \dfrac{y}{3} \implies 3x - 3z = y \implies 3x - y - 3z = 0$ El sistema planteado queda así: $$\boxed{\begin{cases} x + y + z = 100 \\ -2x + 2y - z = 0 \\ 3x - y - 3z = 0 \end{cases}}$$

**b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. (0.5 ptos)** Vamos a resolver el sistema utilizando el método de reducción. Sumamos la primera y la segunda ecuación para eliminar la variable $z$ directamente: $$\begin{array}{rrc} (E_1) & x + y + z &= 100 \\ (E_2) & -2x + 2y - z &= 0 \\ \hline & -x + 3y &= 100 \end{array}$$ Llamaremos a esta nueva ecuación $(E_4): -x + 3y = 100$. Ahora, eliminamos $z$ combinando la primera y la tercera ecuación. Para ello, multiplicamos la primera ecuación $(E_1)$ por $3$ y le sumamos la tercera $(E_3)$: $$\begin{array}{rrc} 3 \cdot (E_1) & 3x + 3y + 3z &= 300 \\ (E_3) & 3x - y - 3z &= 0 \\ \hline & 6x + 2y &= 300 \end{array}$$ Simplificamos la ecuación dividiendo entre $2$: $3x + y = 150$. Llamaremos a esta ecuación $(E_5)$.

Ahora resolvemos el sistema formado por $(E_4)$ y $(E_5)$: $$\begin{cases} -x + 3y = 100 \\ 3x + y = 150 \end{cases}$$ De la primera despejamos $x$: $x = 3y - 100$. Sustituimos en la segunda: $$3(3y - 100) + y = 150$$ $$9y - 300 + y = 150$$ $$10y = 450 \implies \mathbf{y = 45}$$ Calculamos **$x$**: $$x = 3(45) - 100 = 135 - 100 = \mathbf{35}$$ Finalmente, calculamos **$z$** usando la primera ecuación original ($x+y+z=100$): $$35 + 45 + z = 100 \implies 80 + z = 100 \implies \mathbf{z = 20}$$ 💡 **Tip:** Siempre es bueno comprobar si los resultados cumplen las condiciones del enunciado. $45$ (diésel) es el más numeroso y $20$ (híbrido) el menos numeroso. Todo coincide. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = 35 \text{ coches gasolina}, \quad y = 45 \text{ coches diésel}, \quad z = 20 \text{ coches híbridos}}$$