Continuidad y representación de una función a trozos

**a) Halla el valor de $t$ para que $f$ sea continua en $x = -1$. (0.5 ptos)** Para que una función sea continua en un punto $x = a$, se deben cumplir tres condiciones: 1. Que exista el valor de la función en el punto: $f(a)$. 2. Que existan los límites laterales y sean iguales (es decir, que exista $\lim_{x \to a} f(x)$). 3. Que el valor del límite coincida con el valor de la función: $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. En nuestro caso, para $x = -1$: - El valor de la función es $f(-1) = 4$ (usando la segunda rama). - El límite por la derecha es $\lim_{x \to -1^+} f(x) = 4$. - El límite por la izquierda es $\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} (x + t) = -1 + t$. 💡 **Tip:** Recuerda que para que no haya un "salto" en la gráfica, los valores de las ramas que se encuentran en $x = -1$ deben coincidir.

Igualamos los límites laterales para garantizar que el límite global exista y coincida con el valor de la función en ese punto: $$\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^+} f(x)$$ $$-1 + t = 4$$ Despejamos $t$: $$t = 4 + 1$$ $$t = 5$$ Si $t = 5$, la función es continua en $x = -1$ porque $\lim_{x \to -1} f(x) = f(-1) = 4$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{t = 5}$$

**b) Para $t = 3$, representa gráficamente la función $f$. (1 pto)** Sustituimos $t = 3$ en la función original: $$f(x) = \begin{cases} x + 3 & \text{si } x < -1 \\ 4 & \text{si } -1 \le x \le 1 \\ (x - 4)^2 - 5 & \text{si } x > 1 \end{cases}$$ Analizamos cada tramo: 1. **Tramo 1 ($x < -1$):** Es una recta $y = x + 3$. Si $x = -1$, $y = 2$ (punto abierto $(-1, 2)$). Si $x = -2$, $y = 1$. 2. **Tramo 2 ($-1 \le x \le 1$):** Es una función constante $y = 4$. Un segmento horizontal desde $(-1, 4)$ hasta $(1, 4)$. 3. **Tramo 3 ($x > 1$):** Es una parábola $y = (x - 4)^2 - 5$. - El vértice está en $(4, -5)$. - En el punto de unión $x = 1$, $y = (1 - 4)^2 - 5 = (-3)^2 - 5 = 9 - 5 = 4$. Coincide con el tramo anterior (continua en $x = 1$). - Si $x = 6$, $y = (6 - 4)^2 - 5 = 4 - 5 = -1$. 💡 **Tip:** Observa que para $t = 3$, en $x = -1$ hay un salto finito, ya que la primera rama tiende a $2$ y la segunda vale $4$.

A continuación se muestra la representación gráfica de la función. Se observa el salto en $x = -1$ y la continuidad en $x = 1$. ✅ **Gráfico de la función:**