Concentración de una proteína en un tratamiento experimental

**a) Determina cuáles son los valores inicial ($x = 0$) y final ($x = 9$) de la concentración de esa proteína en la sangre del paciente.** Para calcular los valores inicial y final, simplemente debemos sustituir $x=0$ y $x=9$ en la función dada: 1. **Valor inicial ($x = 0$):** $$f(0) = \frac{1}{3}(0)^3 - 4(0)^2 + 7(0) + 40 = 40 \text{ mg/litro}$$ 2. **Valor final ($x = 9$):** $$f(9) = \frac{1}{3}(9)^3 - 4(9)^2 + 7(9) + 40$$ Calculamos cada término: $f(9) = \frac{1}{3}(729) - 4(81) + 63 + 40 = 243 - 324 + 63 + 40 = 22 \text{ mg/litro}$ 💡 **Tip:** El valor inicial siempre se corresponde con $t=0$ o $x=0$ en problemas de evolución temporal. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Concentración inicial: } 40 \text{ mg/l}, \text{ Concentración final: } 22 \text{ mg/l}}$$

**b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la concentración.** Para estudiar el crecimiento y decrecimiento, calculamos la primera derivada $f'(x)$ y buscamos sus puntos críticos (donde $f'(x)=0$): $$f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 4x^2 + 7x + 40$$ $$f'(x) = 3 \cdot \frac{1}{3}x^2 - 8x + 7 = x^2 - 8x + 7$$ Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos singulares: $$x^2 - 8x + 7 = 0$$ Aplicamos la fórmula de la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4(1)(7)}}{2(1)} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{8 \pm 6}{2}$$ Obtenemos dos valores: $$x_1 = \frac{14}{2} = 7, \quad x_2 = \frac{2}{2} = 1$$ Como el dominio del estudio es $[0, 9]$, ambos valores están dentro del intervalo. 💡 **Tip:** Recuerda que si $f'(x) \gt 0$ la función crece, y si $f'(x) \lt 0$ la función decrece.

Dividimos el dominio $[0, 9]$ en intervalos usando los puntos críticos $x=1$ y $x=7$: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (0,1) & 1 & (1,7) & 7 & (7,9)\\\hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & +\\\hline \text{Comportamiento} & \text{Creciente} (\nearrow) & \text{Máximo} & \text{Decreciente} (\searrow) & \text{Mínimo} & \text{Creciente} (\nearrow) \end{array}$$ **Justificación del signo:** - Para $x \in (0, 1)$, elegimos $x = 0.5$: $f'(0.5) = (0.5)^2 - 8(0.5) + 7 = 0.25 - 4 + 7 = 3.25 \gt 0$. - Para $x \in (1, 7)$, elegimos $x = 2$: $f'(2) = 2^2 - 8(2) + 7 = 4 - 16 + 7 = -5 \lt 0$. - Para $x \in (7, 9)$, elegimos $x = 8$: $f'(8) = 8^2 - 8(8) + 7 = 64 - 64 + 7 = 7 \gt 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Creciente en } (0, 1) \cup (7, 9) \text{ y decreciente en } (1, 7)}$$

**c) Determina en qué horas se alcanzan los valores máximo y mínimo respectivamente de la concentración de la proteína, y qué valores son esos.** Evaluamos la función en los puntos críticos y en los extremos del intervalo $[0, 9]$ para encontrar el máximo y mínimo absolutos: - En $x = 0$: $f(0) = 40$ (calculado en el apartado a). - En $x = 1$: $f(1) = \frac{1}{3}(1)^3 - 4(1)^2 + 7(1) + 40 = \frac{1}{3} - 4 + 7 + 40 = 43 + \frac{1}{3} = \frac{130}{3} \approx 43.33 \text{ mg/l}$. - En $x = 7$: $f(7) = \frac{1}{3}(7)^3 - 4(7)^2 + 7(7) + 40 = \frac{343}{3} - 196 + 49 + 40 = \frac{343}{3} - 107 = \frac{343 - 321}{3} = \frac{22}{3} \approx 7.33 \text{ mg/l}$. - En $x = 9$: $f(9) = 22$ (calculado en el apartado a). Comparando los valores: - El valor más alto es $43.33$ en $x = 1$. - El valor más bajo es $7.33$ en $x = 7$. 💡 **Tip:** Al buscar extremos absolutos en un intervalo cerrado, siempre debes comparar los máximos/mínimos relativos con los valores de la función en los bordes del intervalo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máximo: } 43.33 \text{ mg/l a la 1 hora. Mínimo: } 7.33 \text{ mg/l a las 7 horas.}}$$