Cálculo de probabilidades en sorteos de clase

Primero, identificamos el número total de alumnos y cuántos pertenecen a cada grupo según su procedencia: - Total de alumnos ($N$): $27$ - Alumnos de Albacete ($A$): $14$ - Alumnos de Cuenca ($C$): $5$ - Alumnos de Toledo ($T$): $8$ En el primer apartado, nos preguntan por alumnos que **no son de Albacete**. Calculamos cuántos hay en este grupo sumando los de Cuenca y Toledo: $$\text{No Albacete } (\bar{A}) = 5 + 8 = 13 \text{ alumnos.}$$ 💡 **Tip:** Siempre es útil sumar todas las categorías para verificar que coinciden con el total: $14 + 5 + 8 = 27$. ¡Correcto!

**a) Se sortean dos entradas entre todos los alumnos, ¿cuál es la probabilidad de que ambas entradas le toquen a alumnos que no son de Albacete? (pueden tocarle al mismo alumno las dos entradas). (0.75 ptos)** El enunciado indica que "pueden tocarle al mismo alumno las dos entradas", lo que significa que el sorteo es **con reposición** (eventos independientes). La probabilidad de que a un alumno no le toque ser de Albacete en una extracción es: $$P(\bar{A}) = \dfrac{\text{Casos favorables}}{\text{Casos posibles}} = \dfrac{13}{27}$$ Como se realizan dos extracciones independientes, la probabilidad de que ambas entradas sean para alumnos no de Albacete es el producto de sus probabilidades: $$P(\bar{A}_1 \cap \bar{A}_2) = P(\bar{A}_1) \cdot P(\bar{A}_2) = \dfrac{13}{27} \cdot \dfrac{13}{27} = \dfrac{169}{729}$$ Realizando el cálculo decimal: $$P \approx 0.2318$$ 💡 **Tip:** Cuando los eventos son independientes (con reposición), la probabilidad total es simplemente la probabilidad individual elevada al número de veces que se repite el evento. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P = \dfrac{169}{729} \approx 0.2318}$$

**b) Si sorteamos 5 entradas, de una en una, de forma que no participa en el sorteo la persona que ya le haya tocado una entrada, ¿cuál es la probabilidad de que las 5 sean para alumnos de Cuenca? (0.75 ptos)** En este caso, el sorteo es **sin reposición** (eventos dependientes). Cada vez que un alumno de Cuenca gana una entrada, hay un alumno menos en total y un alumno menos de Cuenca disponible para el siguiente sorteo. Calculamos las probabilidades paso a paso: 1. Probabilidad 1ª entrada para Cuenca ($C_1$): $P(C_1) = \dfrac{5}{27}$ 2. Probabilidad 2ª entrada para Cuenca ($C_2$): $P(C_2 | C_1) = \dfrac{4}{26}$ 3. Probabilidad 3ª entrada para Cuenca ($C_3$): $P(C_3 | C_1, C_2) = \dfrac{3}{25}$ 4. Probabilidad 4ª entrada para Cuenca ($C_4$): $P(C_4 | C_1, C_2, C_3) = \dfrac{2}{24}$ 5. Probabilidad 5ª entrada para Cuenca ($C_5$): $P(C_5 | C_1, C_2, C_3, C_4) = \dfrac{1}{23}$ La probabilidad de que ocurran los 5 sucesos seguidos es el producto de todas ellas: $$P = \dfrac{5}{27} \cdot \dfrac{4}{26} \cdot \dfrac{3}{25} \cdot \dfrac{2}{24} \cdot \dfrac{1}{23}$$ Multiplicamos numeradores y denominadores: $$P = \dfrac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23} = \dfrac{120}{10,068,360}$$ Simplificamos la fracción dividiendo entre 120: $$P = \dfrac{1}{83,903}$$ En forma decimal, es una probabilidad muy baja: $$P \approx 0.0000119$$ 💡 **Tip:** En extracciones sucesivas sin reemplazo, recuerda restar una unidad tanto al numerador como al denominador en cada nuevo paso. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P = \dfrac{1}{83,903} \approx 1.19 \cdot 10^{-5}}$$