Probabilidad y Estadística 2018 Castilla la Mancha
Inferencia estadística: Intervalo de confianza y error máximo
6. El tiempo de conexión a internet por semana de los alumnos de una universidad sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica $\sigma = 1$ hora. Se eligió una muestra aleatoria de 100 alumnos y se observó que la media de tiempo en internet para esa muestra era de 5 horas.
a) Halla un intervalo de confianza para la media de tiempo de conexión a internet con un nivel de confianza del 95 %. (0.75 ptos)
b) ¿Se puede admitir que la media poblacional sea $\mu = 4$ horas con un nivel de confianza del 95 %? Explica razonadamente cómo se podría aumentar o disminuir la amplitud del intervalo. Razona tus respuestas. (0.5 ptos)
c) ¿Cuál sería el error máximo admisible si se hubiera utilizado una muestra de tamaño 100 y un nivel de confianza del 94.64 %? (0.75 ptos)
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$z$ & 0.00 & 0.01 & 0.02 & 0.03 & 0.04 & 0.05 & 0.06 & 0.07 & 0.08 & 0.09 \\
\hline
1.8 & 0.9641 & 0.9649 & 0.9656 & 0.9664 & 0.9671 & 0.9678 & 0.9686 & 0.9693 & 0.9699 & 0.9706 \\
1.9 & 0.9713 & 0.9719 & 0.9726 & 0.9732 & 0.9738 & 0.9744 & 0.9750 & 0.9756 & 0.9761 & 0.9767 \\
\hline
\end{tabular}
Paso 1
Identificación de los datos del problema
**a) Halla un intervalo de confianza para la media de tiempo de conexión a internet con un nivel de confianza del 95 %. (0.75 ptos)**
Primero extraemos los datos que nos proporciona el enunciado para la variable aleatoria $X$, que representa el tiempo de conexión semanal:
- Distribución: Normal $N(\mu, \sigma)$
- Desviación típica poblacional: $\sigma = 1$ hora.
- Tamaño de la muestra: $n = 100$.
- Media muestral: $\bar{x} = 5$ horas.
- Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.95$ (lo que implica $\alpha = 0.05$).
Paso 2
Cálculo del valor crítico $z_{\alpha/2}$ para el 95 %
Para un nivel de confianza del $95\%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$:
1. $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$
2. $\alpha/2 = 0.025$
3. Buscamos en la tabla de la normal estándar el valor que deja por debajo una probabilidad de $1 - \alpha/2 = 1 - 0.025 = 0.9750$.
Consultando la tabla adjunta, vemos que para $z = 1.96$ el valor es $0.9750$.
$$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 0.9750 \implies z_{\alpha/2} = 1.96$$
💡 **Tip:** El valor $z_{\alpha/2} = 1.96$ es el más común en Bachillerato para el nivel de confianza del 95 %.
Paso 3
Determinación del intervalo de confianza
La fórmula del intervalo de confianza para la media es:
$$I.C. = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} , \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$
Calculamos primero el error máximo admisible ($E$):
$$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.96 \cdot \frac{1}{\sqrt{100}} = 1.96 \cdot \frac{1}{10} = 0.196$$
Ahora calculamos los extremos del intervalo:
- Límite inferior: $5 - 0.196 = 4.804$
- Límite superior: $5 + 0.196 = 5.196$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{I.C._{95\%} = (4.804, 5.196)}$$
Paso 4
Contraste de la media poblacional
**b) ¿Se puede admitir que la media poblacional sea $\mu = 4$ horas con un nivel de confianza del 95 %? Explica razonadamente cómo se podría aumentar o disminuir la amplitud del intervalo. Razona tus respuestas. (0.5 ptos)**
Para comprobar si se puede admitir que $\mu = 4$, observamos si dicho valor pertenece al intervalo calculado en el apartado anterior:
- El intervalo obtenido es $(4.804, 5.196)$.
- Como el valor $4$ **no pertenece** al intervalo ($4 \notin (4.804, 5.196)$), no se puede admitir que la media poblacional sea $\mu = 4$ con un nivel de confianza del 95 %.
💡 **Tip:** Si el valor propuesto está fuera del intervalo de confianza, rechazamos la hipótesis de que ese sea el valor real de la media con ese nivel de confianza.
Paso 5
Análisis de la amplitud del intervalo
La amplitud del intervalo viene dada por la fórmula $A = 2 \cdot E = 2 \cdot z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$.
- **Para aumentar la amplitud:**
1. Aumentar el nivel de confianza ($1-\alpha$), lo cual aumenta el valor crítico $z_{\alpha/2}$.
2. Disminuir el tamaño de la muestra ($n$).
- **Para disminuir la amplitud:**
1. Disminuir el nivel de confianza, lo cual disminuye $z_{\alpha/2}$.
2. Aumentar el tamaño de la muestra ($n$).
✅ **Respuesta razonada:**
$$\boxed{\text{No se admite } \mu=4 \text{. Para aumentar amplitud: subir confianza o bajar } n \text{. Para disminuir: bajar confianza o subir } n.}$$
Paso 6
Cálculo del error para un nivel de confianza del 94.64 %
**c) ¿Cuál sería el error máximo admisible si se hubiera utilizado una muestra de tamaño 100 y un nivel de confianza del 94.64 %? (0.75 ptos)**
Calculamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$ para $1 - \alpha = 0.9464$:
1. $\alpha = 1 - 0.9464 = 0.0536$
2. $\alpha/2 = 0.0536 / 2 = 0.0268$
3. Buscamos en la tabla de la normal el valor cuya probabilidad acumulada sea $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.0268 = 0.9732$.
Buscando en la tabla adjunta el valor **0.9732**, vemos que corresponde a $z = 1.93$.
Calculamos el error máximo con $n=100$ y $\sigma=1$:
$$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.93 \cdot \frac{1}{\sqrt{100}} = 1.93 \cdot 0.1 = 0.193$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{E = 0.193 \text{ horas}}$$