Inferencia estadística: Intervalos de confianza y probabilidad de la media muestral

**a) ¿Cuál es la media muestral obtenida?** En un intervalo de confianza para la media de una población normal, la media muestral $\bar{x}$ siempre se encuentra en el punto medio del intervalo, ya que el intervalo se construye sumando y restando el error máximo admisible ($E$) a dicha media: $IC = [\bar{x} - E, \bar{x} + E]$. Dados los extremos del intervalo $[22,83, 27,17]$, calculamos la media muestral como el promedio de ambos: $$\bar{x} = \frac{22,83 + 27,17}{2}$$ $$\bar{x} = \frac{50}{2} = 25$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la media muestral es el centro del intervalo de confianza. Si conoces los extremos $a$ y $b$, simplemente haz $\frac{a+b}{2}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\bar{x} = 25 \text{ años}}$$

**b) ¿Cuál es el nivel de confianza utilizado?** Primero, calculamos el error máximo admisible ($E$), que es la distancia desde la media muestral a cualquiera de los extremos del intervalo: $$E = 27,17 - 25 = 2,17$$ Sabemos que la fórmula del error para la media es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Donde: - $\sigma = 10$ (desviación típica poblacional). - $n = 100$ (tamaño de la muestra). - $E = 2,17$. Sustituimos los valores para despejar el valor crítico $z_{\alpha/2}$: $$2,17 = z_{\alpha/2} \cdot \frac{10}{\sqrt{100}}$$ $$2,17 = z_{\alpha/2} \cdot \frac{10}{10}$$ $$z_{\alpha/2} = 2,17$$ 💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2}$ es el número de desviaciones típicas que nos alejamos de la media para cubrir el área de confianza deseada.

Una vez hallado $z_{\alpha/2} = 2,17$, buscamos en la tabla de la distribución Normal $N(0, 1)$ la probabilidad acumulada hasta ese valor: $$P(Z \le 2,17) = 0,9850$$ Esta probabilidad corresponde a $1 - \frac{\alpha}{2}$. Por tanto: $$1 - \frac{\alpha}{2} = 0,9850$$ $$\frac{\alpha}{2} = 1 - 0,9850 = 0,015$$ $$\alpha = 0,03$$ El nivel de confianza es $1 - \alpha$: $$1 - \alpha = 1 - 0,03 = 0,97$$ Para expresarlo en porcentaje, multiplicamos por 100: $$0,97 \cdot 100 = 97\%$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Nivel de confianza} = 97\%}$$

**c) Usando la estimación puntual de la media obtenida en el apartado a), ¿cuál es la probabilidad de que la media de edad de 16 usuarios del servicio de deportes sea menor o igual que 24 años?** Nos piden la probabilidad de que la media de una nueva muestra de tamaño $n = 16$ sea menor o igual a 24. Utilizamos los parámetros poblacionales estimados: - Media poblacional (estimada): $\mu = 25$. - Desviación típica poblacional: $\sigma = 10$. La distribución de la media muestral $\bar{X}$ sigue una normal: $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$ $$\bar{X} \sim N\left(25, \frac{10}{\sqrt{16}}\right) = N\left(25, \frac{10}{4}\right) = N(25, 2,5)$$ Queremos calcular $P(\bar{X} \le 24)$. 💡 **Tip:** La desviación típica de la media muestral (error estándar) disminuye a medida que aumenta el tamaño de la muestra.

Para calcular la probabilidad, tipificamos la variable para pasar a una normal estándar $Z \sim N(0, 1)$: $$Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma_{\bar{x}}} = \frac{24 - 25}{2,5}$$ $$Z = \frac{-1}{2,5} = -0,4$$ Ahora calculamos la probabilidad: $$P(\bar{X} \le 24) = P(Z \le -0,4)$$ Por simetría de la campana de Gauss: $$P(Z \le -0,4) = P(Z \ge 0,4) = 1 - P(Z \le 0,4)$$ Buscamos en la tabla $N(0, 1)$ el valor para $0,4$: $$P(Z \le 0,4) = 0,6554$$ Finalmente: $$P(\bar{X} \le 24) = 1 - 0,6554 = 0,3446$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{X} \le 24) = 0,3446}$$