Probabilidad condicionada y Teorema de Bayes en una población

**a) Construir el árbol de probabilidades** Primero, definimos los sucesos que intervienen en el problema para organizar la información: - $V$: La persona elegida dice siempre la verdad. - $M$: La persona elegida miente siempre. - $R$: La persona elegida pertenece al resto de la población. - $F$: La persona elegida es feliz. - $\bar{F}$: La persona elegida no es feliz. Calculamos la probabilidad del suceso $R$ (el resto), sabiendo que el total debe ser el 100%: $P(R) = 1 - P(V) - P(M) = 1 - 0.20 - 0.20 = 0.60$. 💡 **Tip:** En un árbol de probabilidades, la suma de las ramas que parten de un mismo nodo siempre debe ser 1.

**b) Calcular la probabilidad de que una persona elegida al azar no sea feliz.** Para calcular la probabilidad de que alguien no sea feliz ($P(\bar{F})$), utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Debemos sumar las probabilidades de todos los caminos que terminan en el suceso "No ser feliz" ($\bar{F}$): $$P(\bar{F}) = P(V) \cdot P(\bar{F}|V) + P(M) \cdot P(\bar{F}|M) + P(R) \cdot P(\bar{F}|R)$$ Sustituimos los valores obtenidos del árbol: $$P(\bar{F}) = 0.20 \cdot 0.25 + 0.20 \cdot 0.50 + 0.60 \cdot 0.80$$ Realizamos las operaciones: $$P(\bar{F}) = 0.05 + 0.10 + 0.48 = 0.63$$ 💡 **Tip:** También podrías calcular $P(F)$ y restárselo a 1, ya que $P(\bar{F}) = 1 - P(F)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{F}) = 0.63}$$ (Existe un **63%** de probabilidad de elegir a alguien que no sea feliz).

**c) Se ha elegido una persona al azar, que resulta ser feliz. ¿Cuál es la probabilidad de que diga siempre la verdad?** Se nos pide calcular la probabilidad de que la persona diga la verdad sabiendo que es feliz, es decir, $P(V|F)$. Para ello, aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(V|F) = \frac{P(V \cap F)}{P(F)}$$ Primero, calculamos $P(F)$ usando el complementario del apartado anterior: $$P(F) = 1 - P(\bar{F}) = 1 - 0.63 = 0.37$$ Ahora, calculamos la probabilidad de la intersección (el camino del árbol: verdad y feliz): $$P(V \cap F) = P(V) \cdot P(F|V) = 0.20 \cdot 0.75 = 0.15$$ Sustituimos en la fórmula de Bayes: $$P(V|F) = \frac{0.15}{0.37} \approx 0.4054$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes se usa cuando conocemos el resultado final (ser feliz) y queremos saber la probabilidad de una de las causas iniciales (decir la verdad). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(V|F) = \frac{15}{37} \approx 0.4054}$$ (Aproximadamente un **40.54%**).