Optimización del rendimiento de un jugador de fútbol

**a) ¿En qué momento el jugador tiene mayor rendimiento? ¿Cuál es dicho rendimiento?** Para encontrar el rendimiento máximo, debemos buscar los extremos relativos de la función $R(t)$. Para ello, calculamos la primera derivada e igualamos a cero. La función es: $R(t) = -\frac{1}{20}t^2 + 2t + 80$. Derivamos aplicando las reglas básicas de derivación de polinomios: $$R'(t) = -\frac{2}{20}t + 2 = -\frac{1}{10}t + 2$$ Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$-\frac{1}{10}t + 2 = 0 \implies 2 = \frac{1}{10}t \implies t = 20$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para una función cuadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$, si $a < 0$, el vértice de la parábola representa el valor máximo de la función. $$\boxed{t = 20 \text{ minutos}}$$

Para confirmar que en $t=20$ hay un máximo, estudiamos el signo de la derivada a su izquierda y derecha: $$\begin{array}{c|ccc} t & (0,20) & 20 & (20,90) \\ \hline R'(t) & + & 0 & - \\ \text{Rendimiento} & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array}$$ Como la función crece antes de $t=20$ y decrece después, se trata de un máximo absoluto en ese intervalo. Ahora calculamos el rendimiento en ese minuto sustituyendo $t=20$ en la función original: $$R(20) = -\frac{1}{20}(20)^2 + 2(20) + 80$$ $$R(20) = -\frac{400}{20} + 40 + 80 = -20 + 40 + 80 = 100$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El máximo rendimiento es del 100% en el minuto 20}}$$

**b) ¿En qué minuto el jugador tiene el mismo rendimiento que cuando comenzó el partido?** Primero calculamos el rendimiento al inicio del partido, es decir, cuando $t=0$: $$R(0) = -\frac{1}{20}(0)^2 + 2(0) + 80 = 80$$ El rendimiento inicial es del **80%**. Ahora buscamos en qué otro momento $t$ el rendimiento vuelve a ser 80: $$R(t) = 80 \implies -\frac{1}{20}t^2 + 2t + 80 = 80$$ Restamos 80 en ambos lados para simplificar: $$-\frac{1}{20}t^2 + 2t = 0$$ Multiplicamos toda la ecuación por $-20$ para eliminar la fracción: $$t^2 - 40t = 0$$ Factorizamos sacando factor común $t$: $$t(t - 40) = 0$$ Las soluciones son $t=0$ (inicio) y $t=40$. 💡 **Tip:** Al resolver ecuaciones de la forma $ax^2 + bx = 0$, una solución siempre será $x=0$ y la otra se obtiene de igualar el paréntesis a cero. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{En el minuto 40 tendrá el mismo rendimiento que al empezar}}$$

**c) Si el entrenador quiere cambiarlo cuando esté al 20% de su rendimiento, ¿en qué minuto debe cambiarlo?** Debemos encontrar el valor de $t$ para el cual $R(t) = 20$: $$-\frac{1}{20}t^2 + 2t + 80 = 20$$ Pasamos el 20 restando al primer miembro: $$-\frac{1}{20}t^2 + 2t + 60 = 0$$ Para facilitar el cálculo, multiplicamos toda la ecuación por $-20$: $$t^2 - 40t - 1200 = 0$$ Aplicamos la fórmula general de la ecuación de segundo grado: $$t = \frac{-(-40) \pm \sqrt{(-40)^2 - 4(1)(-1200)}}{2(1)}$$ $$t = \frac{40 \pm \sqrt{1600 + 4800}}{2} = \frac{40 \pm \sqrt{6400}}{2} = \frac{40 \pm 80}{2}$$ Obtenemos dos posibles soluciones: 1. $t_1 = \frac{40 + 80}{2} = \frac{120}{2} = 60$ 2. $t_2 = \frac{40 - 80}{2} = \frac{-40}{2} = -20$ Como el tiempo debe ser positivo y estar dentro de la duración del partido ($0 \le t \le 90$), descartamos la solución negativa. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Debe cambiarlo en el minuto 60}}$$