Sistema de ecuaciones: Distribución de personas por ocupación

**a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones.** Primero, definimos las variables que representarán las incógnitas del problema: - $x$: número de estudiantes. - $y$: número de empleados. - $z$: número de personas sin ocupación. Ahora, traducimos las condiciones del enunciado a ecuaciones matemáticas: 1. **Total de personas:** El grupo tiene 288 personas en total. $$x + y + z = 288$$ 2. **Relación entre estudiantes y empleados:** "Por cada cinco estudiantes hay tres empleados". Esto establece una proporción $\frac{x}{5} = \frac{y}{3}$. Cruzando productos obtenemos: $$3x = 5y \implies 3x - 5y = 0$$ 3. **Personas sin ocupación:** "Los sin ocupación representan el 80% del resto". Si consideramos a los "sin ocupación" ($z$) como un grupo, el "resto" son los estudiantes y empleados ($x + y$). $$z = 0.8(x + y) \implies z = \frac{80}{100}(x + y) \implies z = \frac{4}{5}(x + y)$$ Multiplicando por 5 para evitar decimales: $5z = 4x + 4y \implies 4x + 4y - 5z = 0$. 💡 **Tip:** En problemas de proporciones "por cada $A$ de tipo $X$ hay $B$ de tipo $Y$", la ecuación siempre es $\frac{X}{A} = \frac{Y}{B}$. El sistema planteado es: $$\boxed{\begin{cases} x + y + z = 288 \\ 3x - 5y = 0 \\ 4x + 4y - 5z = 0 \end{cases}}$$

**b) ¿Cuántos estudiantes, empleados y sin ocupación hay?** Para resolver el sistema, observamos que la tercera relación $z = 0.8(x + y)$ nos permite simplificar la primera ecuación rápidamente. Sustituimos $z$ en la primera ecuación: $$x + y + 0.8(x + y) = 288$$ Sumamos los términos semejantes (recordando que $x+y$ es como una única entidad $1 \cdot (x+y)$): $$1.8(x + y) = 288$$ Despejamos la suma de estudiantes y empleados: $$x + y = \frac{288}{1.8} = 160$$ Ahora tenemos un sistema mucho más sencillo de dos ecuaciones con dos incógnitas ($x$ e $y$): $$\begin{cases} x + y = 160 \\ 3x - 5y = 0 \end{cases}}$$

Utilizamos el método de sustitución en el nuevo sistema. De la primera ecuación despejamos $x$: $$x = 160 - y$$ Sustituimos este valor en la segunda ecuación ($3x - 5y = 0$): $$3(160 - y) - 5y = 0$$ $$480 - 3y - 5y = 0$$ $$480 - 8y = 0 \implies 8y = 480$$ $$y = \frac{480}{8} = 60$$ Una vez hallado $y$, calculamos $x$: $$x = 160 - 60 = 100$$ 💡 **Tip:** Siempre es recomendable reducir el número de variables lo antes posible si el enunciado permite relaciones directas como en este caso.

Finalmente, calculamos el valor de $z$ (personas sin ocupación) usando la relación que encontramos al principio: $$z = 0.8(x + y)$$ Como ya sabemos que $x + y = 160$: $$z = 0.8 \cdot 160 = 128$$ **Comprobación:** - Suma total: $100 + 60 + 128 = 288$. (Correcto) - Proporción: $100/5 = 20$ y $60/3 = 20$. (Correcto) - Porcentaje: $128$ es el $80\%$ de $160$ ($160 \cdot 0.8 = 128$). (Correcto) ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Hay 100 estudiantes, 60 empleados y 128 personas sin ocupación}}$$