Inferencia estadística: Proporciones e Intervalos de Confianza

**a) Con una confianza del 97%, construir un intervalo de confianza para la proporción de personas que consulta menos de 15 veces su teléfono móvil cada tres horas.** Primero, definimos los datos del problema: - Tamaño de la muestra: $n = 600$. - Personas que consultan 15 o más veces: $360$. - Personas que consultan **menos** de 15 veces: $600 - 360 = 240$. Calculamos la proporción muestral $\hat{p}$ para los que consultan menos de 15 veces: $$\hat{p} = \frac{240}{600} = 0,4$$ Por tanto, la proporción complementaria es $\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0,4 = 0,6$. 💡 **Tip:** Lee bien el enunciado. El estudio da el dato de los que consultan 15 o más veces, pero la pregunta pide el intervalo para los que consultan **menos** de 15 veces.

Para un nivel de confianza del $97\%$, tenemos: $$1 - \alpha = 0,97 \implies \alpha = 0,03 \implies \frac{\alpha}{2} = 0,015$$ Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que la probabilidad acumulada sea: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,015 = 0,985$$ Buscando en la tabla de la distribución Normal estándar $N(0,1)$, encontramos que para una probabilidad de $0,985$, el valor de $z$ es: $$z_{\alpha/2} = 2,17$$

La fórmula del intervalo de confianza para la proporción es: $$IC = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}, \hat{p} + z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \right)$$ Calculamos el error máximo admisible $E$: $$E = 2,17 \cdot \sqrt{\frac{0,4 \cdot 0,6}{600}} = 2,17 \cdot \sqrt{\frac{0,24}{600}} = 2,17 \cdot \sqrt{0,0004}$$ $$E = 2,17 \cdot 0,02 = 0,0434$$ Calculamos los extremos del intervalo: - Límite inferior: $0,4 - 0,0434 = 0,3566$ - Límite superior: $0,4 + 0,0434 = 0,4434$ ✅ **Resultado (Intervalo a):** $$\boxed{IC = [0,3566, 0,4434]}$$

**b) Si para estimar la proporción de personas que consulta 15 o más veces su teléfono móvil cada tres horas se obtiene el intervalo [0,5424, 0,6576], ¿cuál es el nivel de confianza utilizado?** En este caso, la proporción muestral de referencia es para 15 o más veces: $$\hat{p} = \frac{360}{600} = 0,6 \implies \hat{q} = 0,4$$ El intervalo dado es $[0,5424, 0,6576]$. El error $E$ es la mitad de la amplitud del intervalo: $$E = \frac{0,6576 - 0,5424}{2} = \frac{0,1152}{2} = 0,0576$$ Sabemos que $E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}$. Sustituimos los valores: $$0,0576 = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{0,6 \cdot 0,4}{600}} = z_{\alpha/2} \cdot 0,02$$ Despejamos $z_{\alpha/2}$: $$z_{\alpha/2} = \frac{0,0576}{0,02} = 2,88$$

Ahora buscamos la probabilidad asociada a $z = 2,88$ en la tabla de la Normal: $$P(Z \le 2,88) = 0,9980$$ El nivel de confianza $1-\alpha$ se calcula como: $$1 - \alpha = P(-2,88 \le Z \le 2,88) = P(Z \le 2,88) - P(Z \le -2,88)$$ $$1 - \alpha = 0,9980 - (1 - 0,9980) = 0,9980 - 0,0020 = 0,9960$$ Expresado en porcentaje: $$0,9960 \cdot 100 = 99,6\%$$ ✅ **Resultado (Nivel de confianza):** $$\boxed{99,6\%}$$

**c) Si la población de la ciudad es de 10.000 personas, usando el nivel de confianza del apartado b), ¿entre qué límites está el número de los que consulta menos de 15 veces su teléfono móvil cada tres horas?** El nivel de confianza del apartado b) nos dio un intervalo para la proporción de personas que consulta **15 o más veces**: $[0,5424, 0,6576]$. La proporción de personas que consulta **menos de 15 veces** será el complemento de este intervalo: - Límite inferior prop. $(<15) = 1 - 0,6576 = 0,3424$ - Límite superior prop. $(<15) = 1 - 0,5424 = 0,4576$ Si la población total es $N = 10.000$, multiplicamos los límites de la proporción por el total de habitantes: - Límite inferior de personas: $0,3424 \cdot 10.000 = 3424$ - Límite superior de personas: $0,4576 \cdot 10.000 = 4576$ ✅ **Resultado (Límites poblacionales):** $$\boxed{\text{Entre } 3424 \text{ y } 4576 \text{ personas}}$$