Distribución normal de la media muestral

**a) La probabilidad de que la duración media de una muestra de 16 baterías esté entre 4,1 y 4,3 días.** Sea $X$ la variable aleatoria que representa el tiempo de descarga de una batería (en días). Según el enunciado, esta variable sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu, \sigma) = N(3.8, 1)$$ Cuando trabajamos con muestras de tamaño $n$, la **media muestral** $\bar{X}$ también sigue una distribución normal con la misma media $\mu$ pero con una desviación típica (error estándar) reducida por la raíz del tamaño de la muestra: $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$ Para una muestra de $n = 16$ baterías: $$\bar{X}_{16} \sim N\left(3.8, \frac{1}{\sqrt{16}}\right) = N\left(3.8, \frac{1}{4}\right) = N(3.8, 0.25)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para estudiar la media de un grupo (muestra), la desviación típica disminuye conforme aumenta el número de elementos de la muestra ($n$).

Queremos calcular la probabilidad $P(4.1 \le \bar{X}_{16} \le 4.3)$. Para ello, debemos **tipificar** la variable para pasar a una normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ usando la fórmula: $$Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma_{\bar{X}}}$$ Sustituimos los valores: $$P(4.1 \le \bar{X}_{16} \le 4.3) = P\left(\frac{4.1 - 3.8}{0.25} \le Z \le \frac{4.3 - 3.8}{0.25}\right)$$ $$P\left(\frac{0.3}{0.25} \le Z \le \frac{0.5}{0.25}\right) = P(1.2 \le Z \le 2)$$ Calculamos esta probabilidad restando las funciones de distribución: $$P(1.2 \le Z \le 2) = p(Z \le 2) - p(Z \le 1.2)$$ Buscamos los valores en la tabla de la normal $N(0, 1)$: - $p(Z \le 2) = 0.9772$ - $p(Z \le 1.2) = 0.8849$ Efectuamos la resta: $$0.9772 - 0.8849 = 0.0923$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(4.1 \le \bar{X}_{16} \le 4.3) = 0.0923}$$

**b) La probabilidad de que la duración media de una muestra de 25 baterías no sea mayor que 3,35 días.** En este apartado, el tamaño de la muestra cambia a $n = 25$. Por tanto, la distribución de la media muestral será: $$\bar{X}_{25} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) = N\left(3.8, \frac{1}{\sqrt{25}}\right) = N\left(3.8, \frac{1}{5}\right) = N(3.8, 0.2)$$ El enunciado pide la probabilidad de que la media **no sea mayor** que $3.35$, es decir: $$P(\bar{X}_{25} \le 3.35)$$ 💡 **Tip:** "No ser mayor que" es equivalente a "ser menor o igual que" ($\le$).

Tipificamos para obtener la variable $Z$: $$P(\bar{X}_{25} \le 3.35) = P\left(Z \le \frac{3.35 - 3.8}{0.2}\right)$$ $$P(Z \le \frac{-0.45}{0.2}) = P(Z \le -2.25)$$ Como las tablas de la normal no suelen incluir valores negativos de $Z$, aplicamos la propiedad de **simetría** de la campana de Gauss: $$P(Z \le -2.25) = P(Z \ge 2.25)$$ Para calcular la probabilidad de la "cola derecha", usamos el suceso complementario: $$P(Z \ge 2.25) = 1 - p(Z \le 2.25)$$ Buscamos en la tabla el valor para $2.25$: - $p(Z \le 2.25) = 0.9878$ Finalmente: $$1 - 0.9878 = 0.0122$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{X}_{25} \le 3.35) = 0.0122}$$