Área de superficie deteriorada y coste de reparación

**a) Representar la zona deteriorada.** Para representar la región y posteriormente calcular su área, lo primero que debemos hacer es encontrar los puntos donde se cortan las dos funciones: la parábola $y = (x - 2)^2$ y la recta $y = -4x + 8$. Igualamos ambas expresiones: $$(x - 2)^2 = -4x + 8$$ Desarrollamos el cuadrado del binomio $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $$x^2 - 4x + 4 = -4x + 8$$ Simplificamos los términos eliminando $-4x$ en ambos lados: $$x^2 + 4 = 8 \implies x^2 = 4$$ Obtenemos los valores de $x$: $$x = \pm \sqrt{4} \implies x_1 = -2, \; x_2 = 2$$ Ahora calculamos las ordenadas $y$ sustituyendo en cualquiera de las funciones: - Para $x = -2$: $y = -4(-2) + 8 = 16$. Punto: $(-2, 16)$ - Para $x = 2$: $y = -4(2) + 8 = 0$. Punto: $(2, 0)$ 💡 **Tip:** Los puntos de corte nos indican los límites de integración para el cálculo del área y los extremos de la región en el dibujo. $$\boxed{\text{Puntos de corte: } (-2, 16) \text{ y } (2, 0)}$$

Con los puntos de corte y conociendo el tipo de funciones, representamos la zona: 1. **La parábola** $y = (x - 2)^2$ tiene su vértice en el punto $(2, 0)$ y se abre hacia arriba. 2. **La recta** $y = -4x + 8$ pasa por $(0, 8)$ y por el punto de corte $(2, 0)$. La zona deteriorada es el recinto cerrado comprendido entre ambas curvas desde $x = -2$ hasta $x = 2$.

**b) Para repararla, se ha de utilizar lona cuyo coste (incluido trabajo de reparación) es de 18 euros por metro cuadrado. Si en el trabajo de reparación se desperdicia la tercera parte de la lona adquirida, ¿cuánto costará la reparación?** Primero calculamos el área de la superficie deteriorada mediante la integral definida. En el intervalo $[-2, 2]$, la recta está por encima de la parábola ($g(x) \ge f(x)$): $$A = \int_{-2}^{2} [(-4x + 8) - (x - 2)^2] \, dx$$ Simplificamos la expresión de dentro de la integral: $$-4x + 8 - (x^2 - 4x + 4) = -4x + 8 - x^2 + 4x - 4 = 4 - x^2$$ Calculamos la integral: $$A = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx = \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{2}$$ Aplicamos la **Regla de Barrow**: $$A = \left( 4(2) - \frac{2^3}{3} \right) - \left( 4(-2) - \frac{(-2)^3}{3} \right)$$ $$A = \left( 8 - \frac{8}{3} \right) - \left( -8 + \frac{8}{3} \right) = \frac{16}{3} - \left( -\frac{16}{3} \right) = \frac{32}{3} \text{ m}^2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el área siempre debe dar un resultado positivo. Si te da negativo, es probable que hayas restado las funciones en el orden inverso. $$\boxed{A = \frac{32}{3} \approx 10.67 \text{ m}^2}$$

El enunciado indica que se desperdicia la tercera parte de la lona adquirida. Si llamamos $L$ a la lona adquirida: $$\text{Lona útil} = L - \frac{1}{3}L = \frac{2}{3}L$$ La lona útil debe cubrir exactamente el área deteriorada calculada: $$\frac{2}{3}L = \frac{32}{3} \implies 2L = 32 \implies L = 16 \text{ m}^2$$ Se han tenido que adquirir **16 metros cuadrados** de lona. Finalmente, calculamos el coste sabiendo que cada metro cuadrado cuesta 18 €: $$\text{Coste} = 16 \text{ m}^2 \cdot 18 \text{ €/m}^2 = 288 \text{ €}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{El coste de la reparación es de 288 euros}}$$