Álgebra 2018 Canarias
Problema de Programación Lineal: Pedido de Floristería
La encargada de una floristería ha de hacer un pedido semanal de plantas de interior y plantas de exterior. Al proveedor le paga 1€ por cada planta de interior y 2€ por cada planta de exterior. Necesita atender al menos la demanda de un cliente, que solicita cada semana 20 plantas de interior y 30 de exterior. Además, el transporte del pedido le supone unos costes, que son de 0,60€ por cada planta de interior y 0,80€ por cada planta de exterior, y la floristería tiene por norma no sobrepasar los 48€ de costos de transporte por cada pedido semanal. Por otro lado, la encargada recibe una prima de 0,60€ por cada planta de interior que venda y una prima de 0,50€ por cada planta de exterior que venda, y quiere conseguir al menos 30 euros en este pedido.
a) Si quiere minimizar el precio que le tiene que pagar al proveedor, formular el correspondiente problema. Dibujar la región factible.
b) Resolver el problema planteado en a) calculando también cuánto le paga al proveedor y cuánto es el gasto de transporte.
Paso 1
Definición de variables y formulación de restricciones
**a) Si quiere minimizar el precio que le tiene que pagar al proveedor, formular el correspondiente problema. Dibujar la región factible.**
Primero definimos las variables de decisión del problema:
- $x$: número de plantas de interior.
- $y$: número de plantas de exterior.
A continuación, traducimos las condiciones del enunciado en inecuaciones (restricciones):
1. **Demanda mínima:** Se deben pedir al menos 20 de interior y 30 de exterior.
- $x \ge 20$
- $y \ge 30$
2. **Coste de transporte:** No puede superar los 48€.
- $0,60x + 0,80y \le 48$
3. **Prima mínima:** Quiere conseguir al menos 30€.
- $0,60x + 0,50y \ge 30$
4. **No negatividad:** $x, y \ge 0$ (implícitas en la demanda).
Finalmente, definimos la **función objetivo** que representa lo que se paga al proveedor y queremos **minimizar**:
$$f(x, y) = 1x + 2y$$
💡 **Tip:** Lee con atención palabras como "al menos" (indica $\ge$) o "no sobrepasar" (indica $\le$).
Paso 2
Representación de la región factible
Para dibujar la región factible, representamos las rectas asociadas a cada restricción y determinamos el semiplano correspondiente.
- $r_1: x = 20$ (Recta vertical).
- $r_2: y = 30$ (Recta horizontal).
- $r_3: 0,6x + 0,8y = 48$. Si $x=0, y=60$; si $y=30, x=40$.
- $r_4: 0,6x + 0,5y = 30$. Si $x=20, y=36$; si $y=30, x=25$.
La región factible es el polígono sombreado que cumple todas las condiciones simultáneamente.
Paso 3
Cálculo de los vértices de la región factible
Los vértices son los puntos de corte de las rectas que limitan la región. Vamos a calcularlos resolviendo los sistemas de ecuaciones correspondientes:
- **Vértice A:** Intersección de $x=20$ y $0,6x+0,5y=30$.
$0,6(20) + 0,5y = 30 \implies 12 + 0,5y = 30 \implies 0,5y = 18 \implies y = 36$.
$$\mathbf{A(20, 36)}$$
- **Vértice B:** Intersección de $x=20$ y $0,6x+0,8y=48$.
$0,6(20) + 0,8y = 48 \implies 12 + 0,8y = 48 \implies 0,8y = 36 \implies y = 45$.
$$\mathbf{B(20, 45)}$$
- **Vértice C:** Intersección de $y=30$ y $0,6x+0,8y=48$.
$0,6x + 0,8(30) = 48 \implies 0,6x + 24 = 48 \implies 0,6x = 24 \implies x = 40$.
$$\mathbf{C(40, 30)}$$
- **Vértice D:** Intersección de $y=30$ y $0,6x+0,5y=30$.
$0,6x + 0,5(30) = 30 \implies 0,6x + 15 = 30 \implies 0,6x = 15 \implies x = 25$.
$$\mathbf{D(25, 30)}$$
💡 **Tip:** Los vértices son los puntos "esquina" de la región. Sustituir los valores conocidos de una recta en la ecuación de la otra es el método más rápido para hallarlos.
Paso 4
Evaluación de la función objetivo
**b) Resolver el problema planteado en a) calculando también cuánto le paga al proveedor y cuánto es el gasto de transporte.**
Evaluamos la función objetivo $f(x, y) = x + 2y$ en cada uno de los vértices para encontrar el valor mínimo:
- $f(A) = f(20, 36) = 20 + 2(36) = 20 + 72 = 92€$
- $f(B) = f(20, 45) = 20 + 2(45) = 20 + 90 = 110€$
- $f(C) = f(40, 30) = 40 + 2(30) = 40 + 60 = 100€$
- $f(D) = f(25, 30) = 25 + 2(30) = 25 + 60 = 85€$
El valor mínimo se alcanza en el punto $D(25, 30)$.
Esto significa que la encargada debe pedir **25 plantas de interior y 30 plantas de exterior**.
✅ **Resultado (Optimización):**
$$\boxed{\text{Mínimo: } 85€ \text{ con } 25 \text{ pl. interior y } 30 \text{ pl. exterior}}$$
Paso 5
Cálculo de costes finales
Para completar el apartado b, calculamos los costes específicos en el punto óptimo $D(25, 30)$:
1. **Pago al proveedor:** Ya lo hemos calculado al evaluar la función objetivo:
$$1 \cdot 25 + 2 \cdot 30 = 85€$$
2. **Gasto de transporte:** Usamos la fórmula de los costes de transporte dada en el enunciado $(0,60x + 0,80y)$:
$$\text{Gasto T} = 0,60(25) + 0,80(30) = 15 + 24 = 39€$$
✅ **Resultado Final:**
$$\boxed{\text{Pago proveedor: } 85€, \quad \text{Gasto transporte: } 39€}$$