Aproximación de la Binomial por la Normal

**a) ¿Cuál es la probabilidad de que, a lo sumo, estén apagados 40 teléfonos?** Primero, definimos la variable aleatoria $X$ como el "número de teléfonos apagados de entre los 400 llamados". Estamos ante una **distribución Binomial** $B(n, p)$ porque: 1. Cada llamada es independiente de las demás. 2. En cada llamada solo hay dos posibilidades: el teléfono está apagado (éxito) o no lo está. 3. La probabilidad de éxito es constante: $p = \dfrac{1}{10} = 0,1$. Los parámetros son: - Número de ensayos: $n = 400$ - Probabilidad de éxito: $p = 0,1$ - Probabilidad de fracaso: $q = 1 - p = 0,9$ Por tanto: $X \sim B(400;\, 0,1)$. 💡 **Tip:** Una distribución binomial se usa cuando repetimos un experimento con dos posibles resultados un número fijo de veces.

Dado que el número de llamadas ($n = 400$) es muy elevado, el cálculo con la fórmula de la binomial sería muy complejo. Comprobamos si podemos aproximar por una **distribución Normal**: 1. $n \cdot p = 400 \cdot 0,1 = 40 \ge 5$ 2. $n \cdot q = 400 \cdot 0,9 = 360 \ge 5$ Como se cumplen ambas condiciones, aproximamos $X$ por una variable continua $Y$ que sigue una distribución normal $N(\mu, \sigma)$: - Media: $\mu = n \cdot p = 40$ - Desviación típica: $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{400 \cdot 0,1 \cdot 0,9} = \sqrt{36} = 6$ Por tanto, $X \approx Y \sim N(40, 6)$. 💡 **Tip:** Cuando $n \cdot p$ y $n \cdot q$ son mayores que 5, la campana de Gauss (Normal) se ajusta muy bien a los bastones de la Binomial.

Nos piden la probabilidad de que estén apagados "a lo sumo" 40 teléfonos, es decir, $P(X \le 40)$. Aplicamos la **corrección por continuidad de Yates**, pasando de la variable discreta a la continua: $P(X \le 40) \approx P(Y \le 40,5)$. Ahora tipificamos para usar la tabla $N(0, 1)$: $$Z = \frac{Y - \mu}{\sigma} = \frac{40,5 - 40}{6} = \frac{0,5}{6} \approx 0,0833$$ Buscamos en la tabla de la normal estándar para $z = 0,08$: $$P(Y \le 40,5) = P(Z \le 0,08) = 0,5319$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \le 40) \approx 0,5319}$$

**b) ¿Cuál es la probabilidad de que estén apagados 40 teléfonos?** En este caso nos piden un valor exacto: $P(X = 40)$. En una distribución continua la probabilidad de un punto es cero, por lo que usamos el intervalo de la corrección por continuidad: $$P(X = 40) \approx P(39,5 \le Y \le 40,5)$$ Tipificamos ambos valores: - Para $39,5$: $z_1 = \frac{39,5 - 40}{6} = -0,0833 \approx -0,08$ - Para $40,5$: $z_2 = \frac{40,5 - 40}{6} = 0,0833 \approx 0,08$ Calculamos la probabilidad del intervalo: $$P(-0,08 \le Z \le 0,08) = P(Z \le 0,08) - P(Z \le -0,08)$$ $$P(Z \le 0,08) - (1 - P(Z \le 0,08)) = 0,5319 - (1 - 0,5319) = 0,5319 - 0,4681 = 0,0638$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X = 40) \approx 0,0638}$$

**c) ¿Cuál es la probabilidad de que estén apagados entre 40 y 50 teléfonos?** Interpretamos el intervalo como $P(40 \le X \le 50)$. Aplicamos la corrección por continuidad para abarcar ambos valores enteros: $$P(40 \le X \le 50) \approx P(39,5 \le Y \le 50,5)$$ Tipificamos: - Para $39,5$: $z_1 \approx -0,08$ - Para $50,5$: $z_2 = \frac{50,5 - 40}{6} = \frac{10,5}{6} = 1,75$ Calculamos la probabilidad: $$P(-0,08 \le Z \le 1,75) = P(Z \le 1,75) - P(Z \le -0,08)$$ $$P(Z \le 1,75) - (1 - P(Z \le 0,08)) = 0,9599 - (1 - 0,5319) = 0,9599 - 0,4681 = 0,4918$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(40 \le X \le 50) \approx 0,4918}$$