Intervalo de confianza y tamaño muestral para la media

**a) A partir de los datos de la muestra anterior determinar un intervalo de confianza al 95% para la distancia media en km recorrida por un taxi en un día.** Primero, extraemos los datos proporcionados por el enunciado: - Tamaño de la muestra: $n = 96$ - Media muestral: $\bar{x} = 240 \text{ km}$ - Desviación típica muestral: $s = 60 \text{ km}$ Como el tamaño de la muestra es grande ($n \ge 30$), podemos aproximar la desviación típica de la población ($\sigma$) por la de la muestra ($s$), por lo que $\sigma \approx 60$. La media de las distancias sigue una distribución normal: $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) = N\left(240, \frac{60}{\sqrt{96}}\right)$$ 💡 **Tip:** Para muestras grandes, el Teorema Central del Límite nos permite asegurar que la media muestral sigue una distribución normal, incluso si la población original no lo es.

Para un nivel de confianza del $95\%$, tenemos: $$1 - \alpha = 0.95 \implies \alpha = 0.05 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.025$$ Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que el área a su izquierda en la normal estándar sea $1 - 0.025 = 0.975$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 0.975$$ Buscando en la tabla de la distribución Normal $N(0,1)$: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1.96}$$ 💡 **Tip:** Los valores críticos más comunes son $1.645$ ($90\%$), $1.96$ ($95\%$) y $2.575$ ($99\%$).

La fórmula del intervalo de confianza para la media es: $$IC = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Calculamos el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.96 \cdot \frac{60}{\sqrt{96}} = 1.96 \cdot \frac{60}{9.7979} \approx 1.96 \cdot 6.1237 = 12.0025$$ Calculamos los extremos del intervalo: - Límite inferior: $240 - 12.0025 = 227.9975$ - Límite superior: $240 + 12.0025 = 252.0025$ ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{IC = (227.9975, 252.0025)}$$

**b) ¿De qué tamaño debería ser la muestra si se desea estimar la distancia media recorrida en un día con un error menor que 10 km y con confianza del 99%?** En este caso, cambian las condiciones: - Error máximo admisible: $E \lt 10$ - Nivel de confianza: $99\% \implies 1 - \alpha = 0.99 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.005$ Buscamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.005 = 0.995$$ En las tablas de la normal, el valor $0.995$ se encuentra entre $z=2.57$ y $z=2.58$. Tomamos el punto medio: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.575}$$

Utilizamos la fórmula del error para despejar el tamaño muestral $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \implies n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$ Sustituimos los valores: $$n = \left( \frac{2.575 \cdot 60}{10} \right)^2 = (2.575 \cdot 6)^2 = (15.45)^2 = 238.7025$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y el error debe ser **menor** que 10, debemos redondear siempre al entero superior inmediato para garantizar que se cumple la restricción. 💡 **Tip:** Aunque el decimal sea bajo, en el cálculo de tamaños muestrales siempre redondeamos hacia arriba para no superar el error máximo permitido. ✅ **Resultado (Tamaño de muestra):** $$\boxed{n \ge 239 \text{ taxis}}$$