Área entre curvas y presupuesto de instalación

**a) Hacer una gráfica de la superficie que hay que cubrir. Calcular dicha superficie.** Para calcular el área encerrada entre dos funciones, lo primero es encontrar los puntos donde se cortan. Para ello, igualamos ambas expresiones: $$-x^2 + 14x - 41 = 4$$ Llevamos todos los términos a un lado para obtener una ecuación de segundo grado: $$-x^2 + 14x - 41 - 4 = 0$$ $$-x^2 + 14x - 45 = 0$$ Multiplicamos por $-1$ para facilitar la resolución: $$x^2 - 14x + 45 = 0$$ Aplicamos la fórmula general: $$x = \frac{-(-14) \pm \sqrt{(-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 45}}{2 \cdot 1} = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 180}}{2} = \frac{14 \pm \sqrt{16}}{2}$$ $$x = \frac{14 \pm 4}{2}$$ Obtenemos dos valores: - $x_1 = \frac{14 - 4}{2} = 5$ - $x_2 = \frac{14 + 4}{2} = 9$ 💡 **Tip:** Los puntos de corte nos indican los límites de integración para calcular el área. $$\boxed{x = 5, \quad x = 9}$$

Representamos la parábola $f(x) = -x^2 + 14x - 41$ y la recta horizontal $g(x) = 4$. El área que buscamos es la región comprendida entre ambas desde $x=5$ hasta $x=9$. La parábola tiene el coeficiente de $x^2$ negativo, por lo que es cóncava (hacia abajo). Su vértice se encuentra en $x = \frac{-b}{2a} = \frac{-14}{-2} = 7$. La superficie a cubrir es la zona sombreada.

El área $A$ se calcula mediante la integral definida de la función superior (la parábola) menos la función inferior (la recta) entre los límites hallados: $$A = \int_{5}^{9} [(-x^2 + 14x - 41) - 4] \, dx$$ $$A = \int_{5}^{9} (-x^2 + 14x - 45) \, dx$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el área siempre se calcula como $\int (\text{función arriba} - \text{función abajo})$. $$\boxed{A = \int_{5}^{9} (-x^2 + 14x - 45) \, dx}$$

Calculamos la primitiva y aplicamos la Regla de Barrow: $$P(x) = \int (-x^2 + 14x - 45) \, dx = -\frac{x^3}{3} + \frac{14x^2}{2} - 45x = -\frac{x^3}{3} + 7x^2 - 45x$$ Evaluamos en los límites: $$A = \left[ -\frac{x^3}{3} + 7x^2 - 45x \right]_{5}^{9}$$ Sustituimos $x = 9$: $$P(9) = -\frac{9^3}{3} + 7(9^2) - 45(9) = -\frac{729}{3} + 7(81) - 405 = -243 + 567 - 405 = -81$$ Sustituimos $x = 5$: $$P(5) = -\frac{5^3}{3} + 7(5^2) - 45(5) = -\frac{125}{3} + 175 - 225 = -\frac{125}{3} - 50 = \frac{-125 - 150}{3} = -\frac{275}{3}$$ Restamos los resultados: $$A = P(9) - P(5) = -81 - \left( -\frac{275}{3} \right) = -81 + \frac{275}{3}$$ $$A = \frac{-243 + 275}{3} = \frac{32}{3} \approx 10,67 \text{ m}^2$$ ✅ **Resultado (Superficie):** $$\boxed{A = \frac{32}{3} \approx 10,67 \text{ m}^2}$$

**b) El coste del espejo es de 16,25 € el metro cuadrado. A esta cantidad hay que añadir la mano de obra, que es un 24% de lo que cuesta el espejo, más el gasto del transporte, que es de 85 €, ¿a cuánto asciende el coste total?** Desglosamos los gastos utilizando el área exacta $A = \frac{32}{3}$ para evitar errores de redondeo: 1. **Coste del espejo:** $$\text{Espejo} = A \cdot 16,25 = \frac{32}{3} \cdot 16,25 = \frac{32 \cdot 16,25}{3} = \frac{520}{3} \approx 173,33 \text{ €}$$ 2. **Coste de la mano de obra (24% del espejo):** $$\text{Mano de obra} = 0,24 \cdot 173,33 = 41,60 \text{ €}$$ 3. **Gasto de transporte:** $$\text{Transporte} = 85 \text{ €}$$ 4. **Coste total:** $$\text{Total} = 173,33 + 41,60 + 85 = 299,93 \text{ €}$$ 💡 **Tip:** Fíjate bien si los porcentajes se aplican sobre el total o solo sobre una de las partidas (aquí es sobre el coste del espejo). ✅ **Resultado (Coste total):** $$\boxed{299,93 \text{ €}}$$