Programación Lineal: Optimización de ingresos de un asesor fiscal

**a) Formular el correspondiente problema y representar la región factible.** En primer lugar, definimos las variables de decisión del problema, que representan aquello que el asesor puede variar para maximizar su beneficio: - $x$: número de declaraciones de personas físicas. - $y$: número de declaraciones de pymes. El objetivo es maximizar los ingresos totales. Según el enunciado, cobra 120 € por cada persona física y 300 € por cada pyme. Por tanto, la **función objetivo** es: $$f(x, y) = 120x + 300y$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la función objetivo siempre representa la cantidad que queremos hacer lo más grande (maximizar) o lo más pequeña (minimizar) posible.

A continuación, traducimos las limitaciones de tiempo y las obligaciones contractuales en un sistema de inecuaciones: 1. **Recopilación de información:** Emplea 3h por persona física y 6h por pyme, con un máximo de 360h. $$3x + 6y \le 360 \implies x + 2y \le 120$$ 2. **Uso de la aplicación:** Emplea 1h por persona física y 4h por pyme, con un máximo de 210h. $$x + 4y \le 210$$ 3. **Obligaciones contractuales:** Debe hacer al menos 10 declaraciones a personas físicas y 20 a pymes. $$x \ge 10$$ $$y \ge 20$$ El sistema de restricciones que define el problema es: $$\begin{cases} x + 2y \le 120 \\ x + 4y \le 210 \\ x \ge 10 \\ y \ge 20 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Siempre es recomendable simplificar las inecuaciones (como hemos hecho en la primera dividiendo entre 3) para trabajar con números más manejables al dibujar.

La región factible es el conjunto de puntos $(x, y)$ que cumplen todas las restricciones simultáneamente. Para dibujarla, representamos las rectas asociadas y sombreamos la zona común. - La recta $x + 2y = 120$ pasa por $(120, 0)$ y $(0, 60)$. - La recta $x + 4y = 210$ pasa por $(210, 0)$ y $(0, 52.5)$. - Las rectas $x = 10$ e $y = 20$ son líneas vertical y horizontal respectivamente. La región resultante es un polígono cuyos vértices calcularemos en el siguiente paso.

Calculamos los puntos de intersección que delimitan la región factible: - **Vértice A:** Intersección de $x = 10$ e $y = 20$. $$\mathbf{A(10, 20)}$$ - **Vértice B:** Intersección de $y = 20$ y $x + 2y = 120$. $x + 2(20) = 120 \implies x + 40 = 120 \implies x = 80$. $$\mathbf{B(80, 20)}$$ - **Vértice C:** Intersección de $x + 2y = 120$ y $x + 4y = 210$. Restamos las ecuaciones: $(x + 4y) - (x + 2y) = 210 - 120 \implies 2y = 90 \implies y = 45$. Sustituimos $y$: $x + 2(45) = 120 \implies x + 90 = 120 \implies x = 30$. $$\mathbf{C(30, 45)}$$ - **Vértice D:** Intersección de $x = 10$ y $x + 4y = 210$. $10 + 4y = 210 \implies 4y = 200 \implies y = 50$. $$\mathbf{D(10, 50)}$$ 💡 **Tip:** El Teorema Fundamental de la Programación Lineal nos asegura que la solución óptima se encuentra siempre en uno de los vértices de la región factible (o en un segmento que los une).

**b) ¿Cuál es la solución óptima? ¿Y el valor máximo de los ingresos?** Evaluamos la función objetivo $f(x, y) = 120x + 300y$ en cada uno de los vértices hallados: - $f(A) = f(10, 20) = 120(10) + 300(20) = 1200 + 6000 = 7200 \text{ €}$ - $f(B) = f(80, 20) = 120(80) + 300(20) = 9600 + 6000 = 15600 \text{ €}$ - $f(C) = f(30, 45) = 120(30) + 300(45) = 3600 + 13500 = 17100 \text{ €}$ - $f(D) = f(10, 50) = 120(10) + 300(50) = 1200 + 15000 = 16200 \text{ €}$ Comparando los valores, el ingreso máximo es de **17.100 €**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{La solución óptima es realizar 30 declaraciones de personas físicas y 45 de pymes, con un ingreso máximo de 17.100 €}}$$