Probabilidad y Teorema de Bayes: Yogures caducados

**a) Dibujar un diagrama en árbol que represente los posibles resultados de la elección.** Primero, definimos los eventos para organizar la información: - $A$: El yogur elegido es de la marca A. - $B$: El yogur elegido es de la marca B. - $C$: El yogur elegido es de la marca C. - $D$: El yogur está caducado. - $\bar{D}$: El yogur no está caducado. Calculamos la probabilidad de elegir cada marca basándonos en el total de yogures ($250 + 150 + 100 = 500$): - $P(A) = \dfrac{250}{500} = 0,5$ - $P(B) = \dfrac{150}{500} = 0,3$ - $P(C) = \dfrac{100}{500} = 0,2$ Las probabilidades de estar caducado condicionadas a la marca son: - $P(D|A) = 2\% = 0,02$ - $P(D|B) = 3\% = 0,03$ - $P(D|C) = 15\% = 0,15$ 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de las ramas que parten de un mismo nodo siempre debe ser igual a 1.

A continuación, representamos los datos en un diagrama en árbol para visualizar todos los caminos posibles y sus probabilidades asociadas:

**b) Calcular la probabilidad de que el yogur elegido esté caducado.** Para calcular la probabilidad de que un yogur esté caducado ($D$), utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Debemos sumar las probabilidades de estar caducado en cada una de las tres marcas: $$P(D) = P(A) \cdot P(D|A) + P(B) \cdot P(D|B) + P(C) \cdot P(D|C)$$ Sustituimos los valores obtenidos anteriormente: $$P(D) = 0,5 \cdot 0,02 + 0,3 \cdot 0,03 + 0,2 \cdot 0,15$$ $$P(D) = 0,01 + 0,009 + 0,03$$ $$P(D) = 0,049$$ 💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando un evento puede ocurrir a través de varios "caminos" o categorías excluyentes (en este caso, las marcas). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(D) = 0,049}$$

**c) Si se ha cogido un yogur y está caducado, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la marca A?** En este apartado nos piden una probabilidad a posteriori: sabiendo que el yogur está caducado ($D$), ¿cuál es la probabilidad de que provenga de la marca $A$? Esto se resuelve con el **Teorema de Bayes**: $$P(A|D) = \frac{P(A \cap D)}{P(D)} = \frac{P(A) \cdot P(D|A)}{P(D)}$$ Utilizamos los datos calculados en los apartados anteriores: - Numerador ($P(A \cap D)$): $0,5 \cdot 0,02 = 0,01$ - Denominador ($P(D)$): $0,049$ Sustituimos: $$P(A|D) = \frac{0,01}{0,049} = \frac{10}{49} \approx 0,2041$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes siempre relaciona la probabilidad de una "causa" (Marca A) dado un "efecto" observado (Estar caducado). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A|D) = \frac{10}{49} \approx 0,2041}$$