Estimación de la proporción y tamaño muestral

**a) Construir un intervalo para estimar con un nivel de confianza del 90% la proporción de personas mayores de 70 años atendidas en urgencias.** Primero, extraemos los datos de la muestra proporcionados por el enunciado: - Tamaño de la muestra: $n = 225$ - Personas mayores de 70 años: $x = 81$ Calculamos la proporción muestral $\hat{p}$: $$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{81}{225} = 0,36$$ Calculamos también la proporción complementaria $\hat{q}$: $$\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0,36 = 0,64$$ 💡 **Tip:** En problemas de proporciones, recuerda que $\hat{p}$ es el número de éxitos entre el total de la muestra, y $\hat{p} + \hat{q} = 1$.

Para un nivel de confianza del $90\%$, tenemos que $1 - \alpha = 0,90$. Calculamos el nivel de significación $\alpha$: $$\alpha = 1 - 0,90 = 0,10 \implies \frac{\alpha}{2} = 0,05$$ Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0,05 = 0,95$. Consultando la tabla de la distribución normal estándar $N(0, 1)$: - Para una probabilidad de $0,9495$ corresponde $z = 1,64$ - Para una probabilidad de $0,9505$ corresponde $z = 1,65$ Tomamos el valor medio (o el más preciso de la tabla): $$z_{\alpha/2} = 1,645$$ 💡 **Tip:** Los valores críticos más comunes son: $90\% \to 1,645$; $95\% \to 1,96$; $99\% \to 2,575$.

La fórmula para el intervalo de confianza de una proporción es: $$IC = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}, \quad \hat{p} + z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} \right)$$ Calculamos el error máximo admisible $E$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} = 1,645 \cdot \sqrt{\frac{0,36 \cdot 0,64}{225}}$$ $$E = 1,645 \cdot \sqrt{\frac{0,2304}{225}} = 1,645 \cdot \sqrt{0,001024} = 1,645 \cdot 0,032$$ $$E = 0,05264$$ Ahora calculamos los extremos del intervalo: - Extremo inferior: $0,36 - 0,05264 = 0,30736$ - Extremo superior: $0,36 + 0,05264 = 0,41264$ ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{IC = (0,3074, \, 0,4126)}$$

**b) Si se mantiene la misma proporción muestral, con un nivel de confianza del 95%, ¿cuál debería ser el tamaño de la muestra para estimar la proporción de mayores de 70 años con un error menor que 0,03?** Datos para este apartado: - Proporción muestral: $\hat{p} = 0,36$ y $\hat{q} = 0,64$ - Nivel de confianza: $95\% \implies 1 - \alpha = 0,95$ - Error máximo: $E \lt 0,03$ Calculamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$ para el $95\%$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{0,05}{2} = 0,975 \implies z_{\alpha/2} = 1,96$$ Usamos la fórmula del error despejando $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} \implies n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot \hat{p} \cdot \hat{q}}{E^2}$$ Sustituimos los valores: $$n = \frac{1,96^2 \cdot 0,36 \cdot 0,64}{0,03^2} = \frac{3,8416 \cdot 0,2304}{0,0009}$$ $$n = \frac{0,88510464}{0,0009} \approx 983,45$$ Como buscamos un error **menor** que $0,03$, debemos redondear siempre al entero superior para asegurar que el margen de error no exceda el límite. ✅ **Resultado (Tamaño de la muestra):** $$\boxed{n = 984 \text{ personas}}$$