Estudio de audiencia televisiva

**a) ¿Es continua la función $A(x)$? ¿Cuándo crece y cuándo decrece esta función?** La función está definida por dos ramas polinómicas, que son continuas en sus respectivos intervalos. El único punto de duda es el valor $x=2$, donde cambia la definición de la función. Para que sea continua en $x=2$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función. 1. **Valor de la función:** $A(2) = \frac{-3(2) + 30}{4} = \frac{24}{4} = 6$. 2. **Límite por la izquierda ($x \to 2^-$):** $$\lim_{x \to 2^-} A(x) = \lim_{x \to 2^-} (x^2 + 2) = 2^2 + 2 = 6.$$ 3. **Límite por la derecha ($x \to 2^+$):** $$\lim_{x \to 2^+} A(x) = \lim_{x \to 2^+} \frac{-3x + 30}{4} = \frac{-3(2) + 30}{4} = 6.$$ Como $\lim_{x \to 2^-} A(x) = \lim_{x \to 2^+} A(x) = A(2) = 6$, la función **es continua** en todo su dominio $[0, 10]$. 💡 **Tip:** Una función a trozos es continua si el "final" de una rama coincide con el "principio" de la siguiente.

Para estudiar el crecimiento y decrecimiento, calculamos la derivada $A'(x)$ en cada tramo: $$A'(x) = \begin{cases} 2x, & 0 \lt x \lt 2 \\ -\frac{3}{4}, & 2 \lt x \lt 10 \end{cases}$$ Analizamos el signo de la derivada: - **En el intervalo $(0, 2)$:** $A'(x) = 2x$. Como $x$ es positivo, $A'(x) \gt 0$, por lo que la función **crece**. - **En el intervalo $(2, 10)$:** $A'(x) = -3/4$. La derivada es constante y negativa ($A'(x) \lt 0$), por lo que la función **decrece**. $$\begin{array}{c|cc} x & (0,2) & (2,10) \\\hline A'(x) & + & - \\\hline A(x) & \nearrow & \searrow \end{array}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Crece en } (0, 2) \text{ y decrece en } (2, 10)}$$

**b) ¿Cuándo obtuvo la serie su máxima audiencia y cuántos espectadores tuvo en ese momento?** Basándonos en el estudio de la monotonía, la función crece hasta $x=2$ y decrece a partir de ahí. Por tanto, presenta un **máximo absoluto en $x=2$**. Calculamos el valor de la audiencia en ese punto: $$A(2) = 6 \text{ decenas de miles. }$$ Como la audiencia se expresa en decenas de miles, multiplicamos por 10,000: $$6 \cdot 10,000 = 60,000 \text{ personas.}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máximo a los 2 años con 60,000 espectadores}}$$

**c) ¿Cuál fue la audiencia al principio de la emisión de la serie? Si se decide dejar de emitir cuando la audiencia sea de 15000 personas, ¿en qué momento se dejaría de emitir?** La audiencia al principio corresponde al instante $x=0$. Usamos la primera rama: $$A(0) = 0^2 + 2 = 2 \text{ decenas de miles.}$$ $$2 \cdot 10,000 = 20,000 \text{ espectadores.}$$ ✅ **Resultado (inicial):** $$\boxed{20,000 \text{ espectadores}}$$

Queremos saber cuándo la audiencia es de 15,000 personas. Primero convertimos este dato a las unidades de la función: $$15,000 \text{ personas} = 1.5 \text{ decenas de miles. }$$ Buscamos $x$ tal que $A(x) = 1.5$: 1. **En la primera rama ($0 \le x \lt 2$):** $x^2 + 2 = 1.5 \implies x^2 = -0.5$. No tiene solución real (la audiencia nunca baja de 2 en este tramo). 2. **En la segunda rama ($2 \le x \le 10$):** $$\frac{-3x + 30}{4} = 1.5$$ $$-3x + 30 = 6$$ $$-3x = -24$$ $$x = 8$$ 💡 **Tip:** Es fundamental pasar siempre los datos del enunciado a las unidades de la función (en este caso, de personas a decenas de miles) antes de igualar. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Se dejaría de emitir a los 8 años}}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "A", "latex": "A(x) = \\{0 \\le x < 2: x^2+2, 2 \\le x \\le 10: (-3x+30)/4\\}", "color": "#2563eb" }, { "id": "max", "latex": "(2, 6)", "showLabel": true, "label": "Máximo (2, 60.000)" }, { "id": "limite", "latex": "y = 1.5", "color": "#ef4444", "lineStyle": "DASHED" }, { "id": "p_corte", "latex": "(8, 1.5)", "showLabel": true, "label": "Cese (8 años)" } ], "bounds": { "left": -1, "right": 11, "bottom": -1, "top": 8 } } }