Sistema de ecuaciones: Venta de periódicos, revistas y libros

**a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones.** En primer lugar, definimos las variables que representarán las incógnitas del problema: - $x$: número de periódicos vendidos. - $y$: número de revistas vendidas. - $z$: número de libros vendidos. Ahora, traducimos las condiciones del enunciado a ecuaciones matemáticas: 1. **Importe total de las ventas (1500 €):** El precio de cada producto por su cantidad debe sumar el total. $$1x + 5y + 12z = 1500$$ 2. **Proporción entre revistas y periódicos:** "Por cada 3 revistas se vendieron 10 periódicos". Esto significa que la razón $\frac{\text{periódicos}}{\text{revistas}}$ es $\frac{10}{3}$: $$\frac{x}{y} = \frac{10}{3} \implies 3x = 10y \implies 3x - 10y = 0$$ 3. **Importe de los libros:** "El importe de la venta de libros ($12z$) fue igual a la cuarta parte del importe de periódicos ($1x$) y revistas ($5y$)": $$12z = \frac{1}{4}(x + 5y)$$ Multiplicamos por 4 para eliminar la fracción: $48z = x + 5y$, que reordenando queda: $$x + 5y - 48z = 0$$ 💡 **Tip:** En problemas de proporciones, asegúrate de colocar los números correctamente. Si hay más periódicos que revistas (10 frente a 3), la ecuación $3x = 10y$ es correcta porque al despejar $x = \frac{10}{3}y$, vemos que $x$ es mayor. El sistema resultante es: $$\boxed{\begin{cases} x + 5y + 12z = 1500 \\ 3x - 10y = 0 \\ x + 5y - 48z = 0 \end{cases}}$$

**b) Resolver el sistema anterior: ¿cuántos libros, periódicos y revistas vendió el kiosko la semana pasada?** Vamos a resolver el sistema utilizando el método de sustitución o reducción. Observamos que las ecuaciones (1) y (3) comparten la expresión $x + 5y$: De (3) despejamos: $$x + 5y = 48z$$ Sustituimos esta expresión en la ecuación (1): $$(48z) + 12z = 1500$$ $$60z = 1500$$ $$z = \frac{1500}{60} = 25$$ Por lo tanto, se vendieron **25 libros**. 💡 **Tip:** Agrupar términos comunes como $(x + 5y)$ permite simplificar sistemas de 3 ecuaciones a una sola variable de forma muy rápida.

Ahora que conocemos $z = 25$, sustituimos su valor en la ecuación $x + 5y = 48z$ para obtener un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: $$\begin{cases} x + 5y = 48(25) \\ 3x - 10y = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x + 5y = 1200 \\ 3x = 10y \end{cases}$$ De la segunda ecuación, despejamos $x$: $$x = \frac{10y}{3}$$ Sustituimos en la primera: $$\frac{10y}{3} + 5y = 1200$$ Para eliminar el denominador, multiplicamos toda la ecuación por 3: $$10y + 15y = 3600$$ $$25y = 3600$$ $$y = \frac{3600}{25} = 144$$ Finalmente, calculamos $x$: $$x = \frac{10(144)}{3} = 10 \cdot 48 = 480$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Periódicos: } 480, \quad \text{Revistas: } 144, \quad \text{Libros: } 25}$$