Operaciones con matrices, potencias y ecuaciones matriciales

**a) Calcúlese la matriz $((A \cdot A^t)^2 - 2A \cdot A^t)^{11}$.** En primer lugar, calculamos la matriz traspuesta de $A$, denotada por $A^t$, intercambiando sus filas por columnas: $$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \implies A^t = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Ahora realizamos el producto $M = A \cdot A^t$. Como $A$ es de dimensión $3 \times 2$ y $A^t$ es de $2 \times 3$, el resultado será una matriz de $3 \times 3$: $$M = A \cdot A^t = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (0\cdot0+1\cdot1) & (0\cdot1+1\cdot0) & (0\cdot0+1\cdot1) \\ (1\cdot0+0\cdot1) & (1\cdot1+0\cdot0) & (1\cdot0+0\cdot1) \\ (0\cdot0+1\cdot1) & (0\cdot1+1\cdot0) & (0\cdot0+1\cdot1) \end{pmatrix}$$ $$M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices, multiplicamos los elementos de la fila de la primera por los de la columna de la segunda y sumamos los resultados.

Necesitamos calcular $(M^2 - 2M)$. Primero hallamos $M^2$: $$M^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$ Calculamos ahora $M^2 - 2M$: $$M^2 - 2M = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix} - 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$ $$M^2 - 2M = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Llamemos a esta matriz resultante $C = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.

Finalmente, elevamos la matriz $C$ a la potencia $11$. Al ser una matriz diagonal (solo tiene elementos distintos de cero en la diagonal principal), su potencia se calcula elevando cada elemento de la diagonal a dicha potencia: $$C^{11} = \begin{pmatrix} 0^{11} & 0 & 0 \\ 0 & (-1)^{11} & 0 \\ 0 & 0 & 0^{11} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $(-1)^n$ es $1$ si $n$ es par y $-1$ si $n$ es impar. En este caso $11$ es impar. ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{((A \cdot A^t)^2 - 2A \cdot A^t)^{11} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}}$$

**b) Determínense el número de filas y columnas de la matriz $X$ que verifica que $X \cdot A^t = B^t$. Justifíquese si $A^t$ es una matriz invertible y calcúlese la matriz $X$.** Analicemos las dimensiones para $X \cdot A^t = B^t$: - $A^t$ es una matriz de $2 \times 3$. - $B^t$ es una matriz de $1 \times 3$ (ya que $B$ es $3 \times 1$). Para que el producto $X \cdot A^t$ sea posible, el número de columnas de $X$ debe coincidir con el número de filas de $A^t$, por lo tanto **$X$ tiene 2 columnas**. La matriz resultante del producto tiene las filas de $X$ y las columnas de $A^t$. Como el resultado $B^t$ tiene $1$ fila, **$X$ tiene 1 fila**. Por tanto, la matriz $X$ es de dimensión **$1 \times 2$**. Respecto a la invertibilidad de $A^t$: Para que una matriz sea invertible, una condición necesaria es que sea una **matriz cuadrada** (mismo número de filas que de columnas). Como $A^t$ es de dimensión $2 \times 3$, **$A^t$ no es invertible**. 💡 **Tip:** No confundas "matriz invertible" con "rango máximo". Aunque una matriz no sea cuadrada puede tener rango máximo, pero nunca tendrá inversa.

Sea $X = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}$. Planteamos la ecuación: $$\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 3 \end{pmatrix}$$ Realizamos la multiplicación del primer miembro: $$\begin{pmatrix} x\cdot0 + y\cdot1 & x\cdot1 + y\cdot0 & x\cdot0 + y\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 3 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} y & x & y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 3 \end{pmatrix}$$ Igualando los elementos correspondientes de ambos vectores: - $y = 3$ - $x = 2$ - $y = 3$ (consistente con la primera ecuación) Por tanto, la matriz $X$ es: $$X = \begin{pmatrix} 2 & 3 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{X \text{ tiene dimensión } 1 \times 2; \; A^t \text{ no es invertible; } \; X = \begin{pmatrix} 2 & 3 \end{pmatrix}}$$