Estudio de crecimiento y asíntotas de una función racional

**a) Determínense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f$.** Antes de calcular la derivada, debemos hallar el dominio de $f(x) = \frac{x}{1 - 4x^2}$ para saber dónde está definida la función. Al ser una función racional, el dominio son todos los reales excepto los valores que anulan el denominador: $$1 - 4x^2 = 0 \implies 4x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{4} \implies x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}} = \pm \frac{1}{2}$$ Por tanto, el dominio es: $$\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \left\{-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\}$$ 💡 **Tip:** Siempre es fundamental calcular el dominio antes de estudiar la monotonía, ya que los puntos donde la función no existe deben incluirse en el estudio de intervalos.

Para estudiar el crecimiento y decrecimiento, calculamos la derivada $f'(x)$ utilizando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(x)' \cdot (1-4x^2) - x \cdot (1-4x^2)'}{(1-4x^2)^2}$$ Calculamos las derivadas elementales: - $(x)' = 1$ - $(1-4x^2)' = -8x$ Sustituimos y simplificamos: $$f'(x) = \frac{1 \cdot (1-4x^2) - x \cdot (-8x)}{(1-4x^2)^2} = \frac{1 - 4x^2 + 8x^2}{(1-4x^2)^2} = \frac{1 + 4x^2}{(1-4x^2)^2}$$ $$\boxed{f'(x) = \frac{1 + 4x^2}{(1-4x^2)^2}}$$

Para hallar los intervalos de crecimiento, estudiamos el signo de $f'(x)$: 1. El numerador, $1+4x^2$, es siempre positivo para cualquier valor de $x$ (ya que $x^2 \ge 0$ y le sumamos 1). 2. El denominador, $(1-4x^2)^2$, es un cuadrado perfecto, por lo que siempre es positivo en todo el dominio de la función. Como tanto el numerador como el denominador son positivos para todo $x$ en el dominio: $$f'(x) \gt 0 \text{ para todo } x \in \text{Dom}(f)$$ **Tabla de monotonía:** Dividimos la recta real según los puntos que no pertenecen al dominio: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, -1/2) & -1/2 & (-1/2, 1/2) & 1/2 & (1/2, +\infty) \\\hline f'(x) & + & \nexists & + & \nexists & + \end{array}$$ La función es **estrictamente creciente** en todo su dominio. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Creciente en: } (-\infty, -1/2) \cup (-1/2, 1/2) \cup (1/2, +\infty)}$$ $$\boxed{\text{Decreciente en: } \emptyset}$$

**b) Estúdiense las asíntotas de $f$.** **Asíntotas Verticales (AV):** Buscamos los puntos donde el denominador se anula, que como hemos visto son $x = -1/2$ y $x = 1/2$. Calculamos los límites laterales: Para $x = -1/2$: $$\lim_{x\to -1/2^-} \frac{x}{1-4x^2} = \frac{-1/2}{0^-} = +\infty$$ $$\lim_{x\to -1/2^+} \frac{x}{1-4x^2} = \frac{-1/2}{0^+} = -\infty$$ Para $x = 1/2$: $$\lim_{x\to 1/2^-} \frac{x}{1-4x^2} = \frac{1/2}{0^+} = +\infty$$ $$\lim_{x\to 1/2^+} \frac{x}{1-4x^2} = \frac{1/2}{0^-} = -\infty$$ 💡 **Tip:** Si al calcular el límite en un punto el resultado es $\pm\infty$, existe una asíntota vertical en dicho punto. ✅ **Resultado (AV):** $$\boxed{x = -\frac{1}{2} \quad \text{y} \quad x = \frac{1}{2}}$$

**Asíntotas Horizontales (AH):** Calculamos el límite cuando $x$ tiende a infinito: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{1-4x^2}$$ Como el grado del denominador (2) es mayor que el grado del numerador (1), el límite es 0: $$\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 0$$ Por tanto, existe una asíntota horizontal en $y = 0$. **Asíntotas Oblicuas (AO):** Al existir asíntota horizontal tanto en $+\infty$ como en $-\infty$, **no existen asíntotas oblicuas**. 💡 **Tip:** Recuerda que las asíntotas horizontales y oblicuas son excluyentes en el mismo sentido del infinito. Si hay AH, no hay AO. ✅ **Resultado final (Asíntotas):** $$\boxed{\text{AV: } x = \pm \frac{1}{2}, \quad \text{AH: } y = 0, \quad \text{AO: No hay}}$$