Probabilidad condicionada y Teorema de Bayes en una carrera

**a) Se eligen al azar y de forma independiente un hombre y una mujer de entre los participantes. Calcúlese la probabilidad de que alguno de ellos haya entrenado para la carrera.** Primero, definimos los sucesos para un hombre y una mujer elegidos al azar: - $H_T$: El hombre elegido ha entrenado. - $M_T$: La mujer elegida ha entrenado. Según los datos del enunciado: - Probabilidad de que un hombre haya entrenado: $P(H_T) = \dfrac{2}{3}$. - Probabilidad de que una mujer haya entrenado: $P(M_T) = \dfrac{3}{4}$. Nos piden la probabilidad de que **alguno de ellos** haya entrenado, lo que equivale a la unión de los sucesos: $P(H_T \cup M_T)$. 💡 **Tip:** Cuando nos piden la probabilidad de que ocurra "al menos uno" o "alguno", suele ser más sencillo calcular la probabilidad del suceso contrario (que ninguno haya entrenado) y restársela a 1.

Calculamos las probabilidades de que no hayan entrenado (sucesos contrarios): - $P(\bar{H}_T) = 1 - P(H_T) = 1 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}$. - $P(\bar{M}_T) = 1 - P(M_T) = 1 - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4}$. Como el enunciado indica que las elecciones son **independientes**, la probabilidad de que ninguno haya entrenado es el producto de sus probabilidades individuales: $$P(\bar{H}_T \cap \bar{M}_T) = P(\bar{H}_T) \cdot P(\bar{M}_T) = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{12}.$$ Finalmente, la probabilidad de que alguno haya entrenado es: $$P(H_T \cup M_T) = 1 - P(\bar{H}_T \cap \bar{M}_T) = 1 - \dfrac{1}{12} = \dfrac{11}{12} \approx 0,9167.$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{alguno}) = \dfrac{11}{12}}$$

**b) Si el 65 % de los participantes son hombres y el 35 % mujeres y se elige un participante al azar, calcúlese la probabilidad de que sea hombre sabiendo que ha entrenado para la carrera.** Definimos los nuevos sucesos para la elección de un participante general: - $H$: El participante es hombre ($P(H) = 0,65$). - $M$: El participante es mujer ($P(M) = 0,35$). - $T$: El participante ha entrenado. Representamos la situación mediante un árbol de probabilidad:

Queremos hallar $P(H|T)$. Primero necesitamos la probabilidad total de que un participante haya entrenado, $P(T)$. Según el Teorema de la Probabilidad Total: $$P(T) = P(H) \cdot P(T|H) + P(M) \cdot P(T|M)$$ Sustituimos los valores (usando fracciones para mayor precisión): - $P(H) = 0,65 = \dfrac{65}{100} = \dfrac{13}{20}$. - $P(M) = 0,35 = \dfrac{35}{100} = \dfrac{7}{20}$. $$P(T) = \left( \dfrac{13}{20} \cdot \dfrac{2}{3} \right) + \left( \dfrac{7}{20} \cdot \dfrac{3}{4} \right)$$ $$P(T) = \dfrac{26}{60} + \dfrac{21}{80}$$ Buscamos denominador común (m.c.m de 60 y 80 es 240): $$P(T) = \dfrac{104}{240} + \dfrac{63}{240} = \dfrac{167}{240}.$$ 💡 **Tip:** Mantener las fracciones hasta el final evita errores de redondeo acumulados.

Para calcular la probabilidad de que sea hombre sabiendo que ha entrenado, aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(H|T) = \dfrac{P(H \cap T)}{P(T)} = \dfrac{P(H) \cdot P(T|H)}{P(T)}$$ Sustituimos los valores obtenidos anteriormente: $$P(H|T) = \dfrac{\dfrac{13}{20} \cdot \dfrac{2}{3}}{\dfrac{167}{240}} = \dfrac{\dfrac{26}{60}}{\dfrac{167}{240}} = \dfrac{\dfrac{104}{240}}{\dfrac{167}{240}}$$ Simplificando la fracción: $$P(H|T) = \dfrac{104}{167} \approx 0,62275.$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(H|T) = \dfrac{104}{167} \approx 0,6228}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el Teorema de Bayes se usa para calcular probabilidades "a posteriori", es decir, cuando ya sabemos que ha ocurrido el efecto (entrenar) y queremos saber la probabilidad de una causa (ser hombre).