Inferencia estadística y distribución de la media muestral

**a) Determínese el tamaño mínimo de una muestra aleatoria simple para que la amplitud del intervalo de confianza al 95 % para $\mu$ sea a lo sumo de 23 550 km.** Primero, identificamos los datos del problema para la variable $X \sim N(\mu, 24\,000)$: - Desviación típica poblacional: $\sigma = 24\,000$ km. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.95$. Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ correspondiente al 95 %: - Si $1 - \alpha = 0.95$, entonces $\alpha = 0.05$ y $\alpha/2 = 0.025$. - Buscamos en la tabla de la normal estándar el valor que deja a su izquierda una probabilidad de $1 - 0.025 = 0.975$: $$P(Z \leq z_{\alpha/2}) = 0.975 \implies z_{\alpha/2} = 1.96.$$ 💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2} = 1.96$ es el más habitual en Bachillerato para el nivel de confianza del 95 %.

La amplitud (o longitud) de un intervalo de confianza es el doble del error máximo admisible ($E$): $$L = 2 \cdot E = 2 \cdot z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Queremos que la amplitud sea a lo sumo de 23 550 km, por lo que planteamos la inecuación: $$2 \cdot 1.96 \cdot \frac{24\,000}{\sqrt{n}} \leq 23\,550$$ Operamos los valores conocidos: $$3.92 \cdot \frac{24\,000}{\sqrt{n}} \leq 23\,550$$ $$\frac{94\,080}{\sqrt{n}} \leq 23\,550$$ Despejamos $n$: $$\sqrt{n} \geq \frac{94\,080}{23\,550} \approx 3.9949$$ $$n \geq (3.9949)^2 \approx 15.959$$ Como el tamaño de la muestra $n$ debe ser un número entero, redondeamos siempre al siguiente entero superior para garantizar que se cumple la restricción de amplitud máxima. ✅ **Resultado (tamaño mínimo):** $$\boxed{n = 16}$$

**b) Se toma una muestra aleatoria simple de 25 furgonetas. Suponiendo que $\mu = 150\,000$ km, calcúlese la probabilidad de que la distancia media anual observada, $\bar{X}$, esté entre 144 240 km y 153 840 km.** Si la variable poblacional es $X \sim N(\mu, \sigma)$, la media de una muestra de tamaño $n$ sigue una distribución normal de parámetros: $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$ Datos para este apartado: - $\mu = 150\,000$ - $\sigma = 24\,000$ - $n = 25$ Calculamos la desviación típica de la media muestral (error estándar): $$\sigma_{\bar{x}} = \frac{24\,000}{\sqrt{25}} = \frac{24\,000}{5} = 4\,800$$ Por tanto: $\bar{X} \sim N(150\,000, 4\,800)$. 💡 **Tip:** Recuerda que la variabilidad de la media de las muestras es siempre menor que la variabilidad de los individuos aislados, por eso dividimos por $\sqrt{n}$.

Queremos calcular $P(144\,240 \lt \bar{X} \lt 153\,840)$. Para ello, tipificamos la variable usando $Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma_{\bar{x}}}$: $$P\left(\frac{144\,240 - 150\,000}{4\,800} \lt Z \lt \frac{153\,840 - 150\,000}{4\,800}\right)$$ $$P\left(\frac{-5\,760}{4\,800} \lt Z \lt \frac{3\,840}{4\,800}\right)$$ $$P(-1.2 \lt Z \lt 0.8)$$ Utilizando las propiedades de la probabilidad en la normal estándar: $$P(-1.2 \lt Z \lt 0.8) = P(Z \lt 0.8) - P(Z \lt -1.2)$$ $$P(Z \lt 0.8) - [1 - P(Z \lt 1.2)]$$ Buscamos los valores en la tabla $N(0, 1)$: - $P(Z \lt 0.8) = 0.7881$ - $P(Z \lt 1.2) = 0.8849$ Sustituimos: $$0.7881 - (1 - 0.8849) = 0.7881 - 0.1151 = 0.6730$$ ✅ **Resultado (probabilidad):** $$\boxed{P = 0.6730}$$ *(También expresable como 67,30%)*