Sistemas de ecuaciones lineales con parámetros

**a) Discútase el sistema en función de los valores del parámetro real $a$.** Primero, escribimos el sistema en forma matricial. Identificamos la matriz de coeficientes ($A$) y la matriz ampliada ($A^*$): $$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 2 & a & -6 \\ 1 & -3 & -5 \end{pmatrix}, \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 1 & a \\ 2 & a & -6 & 8 \\ 1 & -3 & -5 & 4 \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de la matriz $A$ usando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 2 & a & -6 \\ 1 & -3 & -5 \end{vmatrix} = [1\cdot a \cdot (-5) + 3\cdot (-6) \cdot 1 + 1\cdot 2 \cdot (-3)] - [1\cdot a \cdot 1 + (-3)\cdot (-6) \cdot 1 + (-5)\cdot 2 \cdot 3]$$ $$|A| = [-5a - 18 - 6] - [a + 18 - 30]$$ $$|A| = (-5a - 24) - (a - 12) = -5a - 24 - a + 12 = -6a - 12$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $a$: $$-6a - 12 = 0 \implies -6a = 12 \implies a = \frac{12}{-6} = -2$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Frobenius nos permite discutir el sistema comparando el rango de la matriz de coeficientes ($A$) y el de la ampliada ($A^*$). Si $|A| \neq 0$, el rango de $A$ es máximo.

Analizamos los casos según el valor de $a$: **Caso 1: $a \neq -2$** Si $a \neq -2$, entonces $|A| \neq 0$. Esto implica que el rango de la matriz $A$ es $3$. Como la matriz ampliada $A^*$ tiene un tamaño de $3 \times 4$, su rango máximo también es $3$. $$\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3 = \text{nº de incógnitas}$$ Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, es decir, tiene una **solución única**. **Caso 2: $a = -2$** Si $a = -2$, el determinante $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) \lt 3$. Comprobamos si el rango es $2$ buscando un menor de orden $2$ no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} = -2 - 6 = -8 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Ahora calculamos el rango de $A^*$ para $a = -2$. Tomamos un menor de orden $3$ que incluya la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 3 & -2 \\ 2 & -2 & 8 \\ 1 & -3 & 4 \end{vmatrix} = (-8 + 24 + 12) - (4 - 24 + 24) = 28 - 4 = 24 \neq 0$$ Como existe un menor de orden $3$ distinto de cero en $A^*$, $\text{rg}(A^*) = 3$. Como $\text{rg}(A) = 2 \neq \text{rg}(A^*) = 3$, el sistema es **Incompatible (SI)**, es decir, **no tiene solución**. ✅ **Resultado (Discusión):** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } a \neq -2: \text{ Sistema Compatible Determinado} \\ \text{Si } a = -2: \text{ Sistema Incompatible} \end{cases}}$$

**b) Resuélvase para $a = 4$.** Sustituimos $a = 4$ en el sistema. Sabemos por el apartado anterior que el sistema es Compatible Determinado: $$\left. \begin{array}{r} x + 3y + z = 4 \\ 2x + 4y - 6z = 8 \\ x - 3y - 5z = 4 \end{array} \right\}$$ Podemos resolverlo por la Regla de Cramer. Primero calculamos el determinante de $A$ para $a=4$: $$|A| = -6(4) - 12 = -36$$ Calculamos los determinantes de las incógnitas: $$|A_x| = \begin{vmatrix} 4 & 3 & 1 \\ 8 & 4 & -6 \\ 4 & -3 & -5 \end{vmatrix} = (-80 - 72 - 24) - (16 + 72 - 120) = -176 - (-32) = -144$$ $$|A_y| = \begin{vmatrix} 1 & 4 & 1 \\ 2 & 8 & -6 \\ 1 & 4 & -5 \end{vmatrix} = (-40 - 24 + 8) - (8 - 24 - 40) = -56 - (-56) = 0$$ $$|A_z| = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 8 \\ 1 & -3 & 4 \end{vmatrix} = (16 + 24 - 24) - (16 - 24 + 24) = 16 - 16 = 0$$ 💡 **Tip:** La regla de Cramer dice que $x = \frac{|A_x|}{|A|}$, $y = \frac{|A_y|}{|A|}$ y $z = \frac{|A_z|}{|A|}$.

Obtenemos los valores de las incógnitas: $$x = \frac{-144}{-36} = 4$$ $$y = \frac{0}{-36} = 0$$ $$z = \frac{0}{-36} = 0$$ Podemos verificar que la solución es correcta sustituyendo en la primera ecuación: $4 + 3(0) + 0 = 4$. Se cumple. ✅ **Resultado (Solución para $a=4$):** $$\boxed{x = 4, \quad y = 0, \quad z = 0}$$