Análisis de beneficios mediante extremos relativos y monotonía

**a) Determínese, en el caso de que exista, el valor del índice para el que el beneficio es mayor que el de todos los valores de un entorno suyo. ¿Cuál sería el beneficio para ese valor del índice?** El enunciado nos pide encontrar un valor de $x$ tal que el beneficio sea mayor que el de sus valores cercanos. En términos matemáticos, esto equivale a buscar un **máximo relativo**. Para localizar los extremos relativos, primero calculamos la derivada de la función $f(x) = x^3 - 12x$: $$f'(x) = 3x^2 - 12$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para derivar una potencia $x^n$, el exponente baja multiplicando y se resta uno al grado: $(x^n)' = nx^{n-1}$.

Igualamos la primera derivada a cero para encontrar los candidatos a máximos o mínimos: $$f'(x) = 0 \implies 3x^2 - 12 = 0$$ $$3x^2 = 12$$ $$x^2 = \frac{12}{3} = 4$$ $$x = \pm \sqrt{4} \implies x_1 = -2, \quad x_2 = 2$$ Tenemos dos puntos críticos en **$x = -2$** y **$x = 2$**. Ahora debemos determinar cuál de ellos es un máximo relativo.

Analizamos el signo de la derivada $f'(x) = 3x^2 - 12$ en los intervalos definidos por los puntos críticos: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, -2) & -2 & (-2, 2) & 2 & (2, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ - En el intervalo $(-\infty, -2)$, tomamos $x = -3$: $f'(-3) = 3(-3)^2 - 12 = 27 - 12 = 15 \gt 0$. La función **crece**. - En el intervalo $(-2, 2)$, tomamos $x = 0$: $f'(0) = -12 \lt 0$. La función **decrece**. - En el intervalo $(2, +\infty)$, tomamos $x = 3$: $f'(3) = 15 \gt 0$. La función **crece**. Como la función pasa de crecer a decrecer en $x = -2$, existe un **máximo relativo** en ese punto. 💡 **Tip:** Un punto es un máximo si la función "sube" antes de llegar a él y "baja" después. Es decir, si $f'(x)$ cambia de signo de $+$ a $-$. ✅ **Resultado (índice):** $$\boxed{x = -2}$$

Para hallar el beneficio asociado al valor del índice $x = -2$, sustituimos en la función original $f(x)$: $$f(-2) = (-2)^3 - 12(-2)$$ $$f(-2) = -8 + 24 = 16$$ ✅ **Resultado (beneficio):** $$\boxed{16 \text{ millones de euros}}$$

**b) Supóngase que el valor actual del índice es $x = 4$ y que está previsto que éste experimente un incremento positivo. Justifíquese si el beneficio aumentará o disminuirá.** Para saber si el beneficio aumentará o disminuirá ante un incremento de $x$, debemos estudiar el crecimiento (monotonía) de la función en el punto $x = 4$. Calculamos el valor de la derivada en dicho punto: $$f'(4) = 3(4)^2 - 12$$ $$f'(4) = 3(16) - 12 = 48 - 12 = 36$$ Como **$f'(4) = 36 \gt 0$**, la función es **creciente** en el punto $x = 4$. 💡 **Tip:** Si la derivada en un punto es positiva, la función está aumentando su valor en ese entorno. Si es negativa, está disminuyendo. **Justificación:** Al ser la función creciente en $x = 4$, cualquier incremento positivo en el valor del índice $x$ provocará un aumento en el valor de la función $f(x)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El beneficio aumentará}}$$