Continuidad e integración de una función a trozos

**a) Determínense el dominio de $f(x)$ y estúdiese su continuidad.** Para determinar el dominio de una función definida a trozos, analizamos cada una de sus ramas en su intervalo de definición: 1. **Rama 1 ($x \lt 0$):** La función es $f(x) = x^3 + 2e^x$. Es una suma de una función polinómica y una exponencial, ambas definidas para todo $\mathbb{R}$. Por tanto, no presenta problemas en su intervalo $(-\infty, 0)$. 2. **Rama 2 ($x \ge 0$):** La función es $f(x) = \frac{2}{3+x}$. Es una función racional cuyo denominador se anula en $3+x=0 \implies x=-3$. Como el valor $x=-3$ no pertenece al intervalo de definición de esta rama ($x \ge 0$), la función es continua para todos los valores positivos y el cero. Al no haber valores excluidos en ninguna de las dos ramas, concluimos que: ✅ **Resultado (Dominio):** $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R}}$$

Para estudiar la continuidad en todo el dominio, solo nos falta analizar el punto de cambio entre ramas, es decir, en $x=0$. Una función es continua en un punto si existen los límites laterales, el valor de la función y coinciden. 1. **Valor de la función:** $$f(0) = \frac{2}{3+0} = \frac{2}{3}$$ 2. **Límite por la izquierda ($x \to 0^-$):** $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (x^3 + 2e^x) = 0^3 + 2e^0 = 2$$ 3. **Límite por la derecha ($x \to 0^+$):** $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{2}{3+x} = \frac{2}{3}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que exista continuidad se debe cumplir $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$. Como $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 2 \neq \lim_{x \to 0^+} f(x) = \frac{2}{3}$, existe un **salto finito** en $x=0$. ✅ **Resultado (Continuidad):** $$\boxed{f(x) \text{ es continua en } \mathbb{R} \setminus \{0\}. \text{ En } x=0 \text{ presenta una discontinuidad de salto finito.}}$$

**b) Calcúlese $\int_{-1}^0 f(x) dx$.** Para calcular la integral en el intervalo $[-1, 0]$, debemos identificar en qué rama de la función se encuentra dicho intervalo. Como el intervalo $[-1, 0]$ corresponde a valores de $x$ tales que $x \le 0$, utilizaremos la primera rama de la función: $f(x) = x^3 + 2e^x$. $$\int_{-1}^0 f(x) dx = \int_{-1}^0 (x^3 + 2e^x) dx$$ Primero calculamos la integral indefinida (primitiva): $$\int (x^3 + 2e^x) dx = \frac{x^4}{4} + 2e^x + C$$ 💡 **Tip:** Recuerda las integrales inmediatas: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ y $\int e^x dx = e^x$.

Aplicamos la Regla de Barrow evaluando la primitiva en los límites de integración $0$ y $-1$: $$\int_{-1}^0 (x^3 + 2e^x) dx = \left[ \frac{x^4}{4} + 2e^x \right]_{-1}^0$$ Sustituimos el límite superior ($x=0$): $$F(0) = \frac{0^4}{4} + 2e^0 = 0 + 2(1) = 2$$ Sustituimos el límite inferior ($x=-1$): $$F(-1) = \frac{(-1)^4}{4} + 2e^{-1} = \frac{1}{4} + \frac{2}{e}$$ Calculamos la diferencia: $$\int_{-1}^0 f(x) dx = F(0) - F(-1) = 2 - \left( \frac{1}{4} + \frac{2}{e} \right)$$ $$= 2 - \frac{1}{4} - \frac{2}{e} = \frac{8-1}{4} - \frac{2}{e} = \frac{7}{4} - \frac{2}{e}$$ ✅ **Resultado (Integral):** $$\boxed{\int_{-1}^0 f(x) dx = \frac{7}{4} - \frac{2}{e} \approx 1.014}$$